一個線性代數問題〔完美解決，附帶一個性質總結〕

jcsxky · 發表于 2010-11-5 21:26

可以相似，任何一個矩陣都相似于它的若爾當標準型。。。
我的解答是這樣的：由A*x=0得到0至少為A*的n-1重特征值，而A*的特征值全為0，所以A*的對角線元素的和為0，又A*的秩為1，A*可以寫成（a1,a2,...,an）的轉置*（b1,...,bn）,由Ax=0,A 的秩為n-1，所以解向量都是A*的列向量的倍數，所以A*x=（a1,a2,...,an）的轉置*（b1,...,bn）*k*（a1,a2,...,an）的轉置,而A*的對角線元素的和為0，所以a1*b1+...+an*bn=0,此時有A*x=0,結論得證！

scl1989 · 發表于 2010-11-5 21:53

佩服，多謝兄弟把解題的過程簡單化和更容易理解了。一直想拿A*乘以A*的列向量得0證明，可是就是不明白特征值全為0得用處，原來把A*利用秩寫成列乘以行，利用對角線和為0，完美利用條件，又更容易理解了。

scl1989 · 發表于 2010-11-5 22:47

我解釋下，其實只從R(A*)=1,就可以判斷A*至少有n-1重0特征值，它的意思這樣A*A=0，所以A所有向量都是A*的解A中無關向量個數是n-1,這樣A*對應0的特征向量至少就是n-1,n的0特征值至少是n-1重，這個不影響
2，A的秩n-1,對應0特征值的特征向量就相關性來說是1個，AA*=0,而A*不是0，所以A*中必有Ax=0的非0特征向量，所以說x是A*某列向量的倍數，而其實r(A*)=1,可以說明A*的列向量是成比例的，這樣說就不為過，況且假設(a1,a2……)轉置不能為0，而(b1,b2……)就是一個一個的倍數，不全為0

sdc2010 · 發表于 2010-11-5 22:51

明白了，AA*=0！謝了。

sdc2010 · 發表于 2010-11-5 23:06

jcsxky 的證法真不錯，開辟了一種新思路！在各位戰友幫助下，總算搞清楚了，多謝各位。

taler123 · 發表于 2010-11-6 00:03

同意

shydesky · 發表于 2010-11-6 13:11

注：
①（A*）代表A的伴隨矩陣
②一些常識性結論一句帶過（如r（A）=n-1則A特征值為0對應一個線性無關的特征向量）
證明如下：
令X為A的特征值為0的特征向量即AX=0（X≠0）
有A（A*）X=（A*）AX=0
假設（A*）X≠0 則（A*）X也是A的關于特征值為0的特征向量
又0對應的線性無關的特征向量為n-r（A）=1個
故（A*）X ，X線性相關即存在k≠0使得（A*）X=kX 所以（A*）存在非零特征值k與題意矛盾。因此假設（A*）X≠0不成立。故（A*）X=0 原題得證

scl1989 · 發表于 2010-11-6 13:29

嗯，嗯，反證法真不錯，謝謝兄弟思路，真是眼界越來越開闊了

dabuou · 發表于 2010-11-6 13:34

錯，矩陣A與一個非零矩陣的乘積可以是一個零矩陣

rain19881231 · 發表于 2010-11-6 13:58

用不到特征相量

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