一個線性代數問題〔完美解決，附帶一個性質總結〕

scl1989 · 發表于 2010-11-5 14:39

你的意思是A*可以相似于0矩陣？可是A*是不能對角話的，應該說A*相似一個主對角全為0的上三角型矩陣，但是不能為0，這樣理解的吧！這樣某種意義下可以說通，但不太理解

scl1989 · 發表于 2010-11-5 15:19

題目差不多算是解決了，101樓的答案，多謝樓上所有友友的回答，我來下個總結吧。不止針對這個題目的總結，是個關于A的特征向量和A*特征向量的的關系。
1。當A可逆時特征值r不為0
Ax=rx
A*Ax=A*rx
|A|Ex=A*rx
A*x=|A|/r *x
所以A的特征向量必然是A*的特征向量
2。若|A|=0
分兩種情況r(A)=n-1和r(A)<n-1
根據矩陣和伴隨矩陣秩的關系①，r(A)<n-1時r(A*)=0，A*為0矩陣，A的特征向量必然是A*的
②，r(A)=n-1時，r(A*)=1
A*至少n-1重0特征值，A至少有1重0特征值
還有一條性質就是R=A11+A22……+Ann=r2*r3……*rn
R發表A*那個剩下可能非0特征值，r1就是A的0特征值
意思是A*的剩下一個可能非零特征值等于A*對角線元素和等于A的那個除了一個0特征值以外其他特征值的積。這個性質左邊很好理解，右邊利用A的特征多項式的特征和rE-A的關系得到
，不詳述，根據這個性質如果A只有一個0特征值，A*必須有一個非零特征值。如果A多重0特征值，A*特征值全部為0。
由上述可得有兩種情況
①A有1個0特征值，對于不為0的特征值，同樣A*x=|A|/r *x,A的所有不為0對應的特征向量都是A*對應0的特征向量
對于A剩下0這個特征值，反過來利用A*的一個非零特征值性質可以知道A的0特征值對應特征向量正好是A*非0特征值的特征向量。
②最后一種情況A*所有特征值為0，0是A的多重根，假如還有非零特征值按上述對應特征向量必定是A*對應0的特征向量，對于A的多重零特征值由于秩n-1,只有一個特征向量，就是這個題目所要問的了。同樣由kanzo兄弟證明出來了。
大結論：n階矩陣A的特征向量必然是A*的特征向量。
反過來不保證成立

sdc2010 · 發表于 2010-11-5 15:56

關鍵地方都沒看懂
1、右邊利用A的特征多項式的特征和rE-A的關系得到
2、反過來利用A*的一個非零特征值性質可以知道A的0特征值對應特征向量正好是A*非0特征值的特征向量。
3、同樣由kanzo兄弟證明出來了。

scl1989 · 發表于 2010-11-5 16:24

1，矩陣|rE-A|=(r-r1)(r-r2)……(r-rn)
右邊r的一次方系數是(-1)^(n-1)
(r2*r3*r4……rn+r1*r3……rn+……r1*r2……rn-1)
你把左邊行列式寫出來，細細觀察下利用行列式的原始定義找到r的一次方的系數，其實就是除去aii的行和列后其余n-1階矩陣的行列式乘以(-1)^(n-1)的所有和，也就是相當于(A11+A22……Ann)*(-1)^(n-1),拿筆自己寫寫看
這樣A11+A22……Ann=r2*r3*r4……rn+r1*r3……rn+……r1*r2……rn-1,后者是去處一個特征值后其他特征值的成立，一共有n項，而我們知道必然有一個特征值為0〔當然可能不止一個〕，這樣就留下了去掉0特征值的特征值乘積了

scl1989 · 發表于 2010-11-5 16:27

2
A*x=Rx
R不為0
AA*x=ARx
Ax=|A|x/R=0=0x
所以我說對應A*不為0特征值的特征向量是A對應特征值0的特征向量

amaogg · 發表于 2010-11-5 16:29

我記大結論算了。。

scl1989 · 發表于 2010-11-5 16:33

3，也就是這個題目的證明了
101樓給的步驟你看下A*^k=0
A*^(k-1)不為0
AA*^(k-1)=0對吧
說明A*^(k-1)中某個不為0的向量是Ax=0的非零解
而A*A*^(k-1)=A*^k=0
同樣這個非零解即對應A的0特征值的向量也是A*對應0的特征向量。結論成立

sdc2010 · 發表于 2010-11-5 16:46

唉，還是不太理解
1、也就是相當于(A11+A22……Ann)*(-1)^(n-1)
3、A*^k=0 ？
A*^(k-1)不為0 ？

scl1989 · 發表于 2010-11-5 17:08

第一個你就仔細觀察行列式找到r的系數再聯想A*的對角線，說不明白。提醒下你仔細看看rE-A這個行列式得對角線想辦法找r得一次方系數比如
r-a11  -a12  -a13
-a21 r-a22  -a23
-a31    -a32 r-a33
r得一次方只能從對角線找
第一行選r-a11
去掉第一行第一列
剩下得
r-a22  -a23
-a32 r-a33
這樣在里面找沒有r的
是不是就是A11*(-1)^2
同理A22也是這樣來的，你看看能不能理解，擴展到n階

第二個應該有個性質如果一個矩陣B所有的特征值都是0，那么一定存在k使得,B得k次方為0矩陣，而k-1是不為0得，這個我不會證，但有這個性質吧

[ 本帖最后由 scl1989 于 2010-11-5 17:09 編輯 ]

sdc2010 · 發表于 2010-11-5 17:23

基本明白了，但是有個地方還是不太懂
剩下得
r-a22 -a23
-a32 r-a33
這樣在里面找沒有r的
第一行和第一列不能再出元素了，要從這個行列式里找對吧，那找不含r的為什么是求這個行列式的值？不知道你能不能聽懂？

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