求高手解一道題本人不才兩個小時全都給它浪費掉了

皇家粥少 · 發表于 2011-8-11 23:49

本帖最后由皇家粥少于 2011-8-13 19:23 編輯

此題是吉米多維奇第812題
無意中同學問我  害得我一夜輾轉反側
最終經過多位研友的幫助完成了一個和吉米不同的方法完全是當做興趣來研究了，僅供大家參看，順便看看還有沒有不嚴謹的地方，  尤其感謝 6044340 同學糾正了我證明上的不嚴謹
常數函數因為特殊性也比較簡單所以下邊不做討論

題目
h(s+t)=h(s)h(t) 函數h(x) 連續

求證  h(x)=e*(-λt)       -λt在e的上邊

思路

一個連續且嚴格單調的函數在一點不可導有2種情況（這就排除了震蕩的情況）
1，定義式極限趨于無窮（或者左無窮或右或都無窮）  也就是斜率無窮大
  2，左右右導數存在不相等

第一步證單調
單調性用比值 f(x+Δx)/f(x) =f(Δx)    設 Δx>0 Δx趨于0但是比0大
設它的函數值大于f(0)=1 （f(0)=1 用賦值很容易求得）

前項比后項就大于1 ，那么整個函數就遞增
如果設它小于那么就遞減
相等就是常數函數
所以嚴格單調

第二步證左導數，右導數存在
如果定義式極限趨于無窮  那么與條件不符因為在0點斜率為無窮大就是Y軸了而且取不到f(0)=1  也不是嚴格單調的所以得到  左右導數的極限存在  主要看是否相等
此處因為是嚴格單調函數所以排除了震蕩的情況

第三步證左右導數相等  見圖

此圖是研友幫忙整理

用 f(x)*f(-x)=1 得到二者的替換然后用定義考慮在0左右的導數情況最后能導出2者不管符號還是趨近程度相等（因為導出是同一個式子）中間要用到函數連續的條件

然后解微分方程最后求得答案

如果大家有好的方法跟我分享下或者我的證明有錯誤

皇家粥少 · 發表于 2011-8-12 00:03

高手都睡覺了么。。。。。。。。看來今晚睡不著了呼呼。。。。。

chongyou2012 · 發表于 2011-8-12 00:08

學過信號與系統嗎？根據時域和頻域的關系，可以用傅立業變換或者拉譜拉斯變換證明！試試看！現在躺在床上，明天我試試。

wolock · 發表于 2011-8-12 00:09

我發現原題了{:soso_e141:}，這不是吉米多維奇第812題么，不過題目還有一個前提，就是h(x)不是恒為0的常數

皇家粥少 · 發表于 2011-8-12 00:09

chongyou2012 發表于 2011-8-12 00:08
學過信號與系統嗎？根據時域和頻域的關系，可以用傅立業變換或者拉譜拉斯變換證明！試試看！現在躺在床上， ...

汗大神我這沒學過你是數學系的？？

皇家粥少 · 發表于 2011-8-12 00:10

wolock 發表于 2011-8-12 00:09
我發現原題了，這不是吉米多維奇第812題么，不過題目還有一個前提，就是h(x)不是恒為0的常數 ...

帥哥有能否告知下答案今晚不想失眠啊我這人有不會的題大腦就會一直想的。

wolock · 發表于 2011-8-12 00:15

這怎么上傳圖片啊，我不會用，不然你去網上下一本吧，網上多得很

wolock · 發表于 2011-8-12 00:18

LZ不是考數一的吧，數一能考到這么難？

皇家粥少 · 發表于 2011-8-12 00:21

wolock 發表于 2011-8-12 00:18
LZ不是考數一的吧，數一能考到這么難？

我考數三遇到一個不錯的題就研究一下正好同學問我沒想到一下卡住了從九點半弄到11點半。。。。
幸好遇到你不然我今晚肯定失眠的 3Q
考研不會有這種難度吧？

wolock · 發表于 2011-8-12 00:24

皇家粥少發表于 2011-8-12 00:21
我考數三遇到一個不錯的題就研究一下正好同學問我沒想到一下卡住了從九點半弄到11點半。 ...

我覺得數學系的有可能考到這個程度，高數要能到這個程度估計至少3/4的人做不了

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