求高手解一道題 本人不才 兩個小時全都給它浪費掉了

皇家粥少

此題是吉米多維奇第812題  
無意中同學問我  害得我一夜輾轉反側
最終經過多位研友的幫助完成了一個和吉米不同的方法    完全是當做興趣來研究了，僅供大家參看，順便看看還有沒有不嚴謹的地方，  尤其感謝 6044340 同學糾正了我證明上的不嚴謹
常數函數因為特殊性也比較簡單所以下邊不做討論

題目
h(s+t)=h(s)h(t)    函數h(x) 連續   

求證  h(x)=e*(-λt)         -λt在e的上邊




思路

一個連續且嚴格單調的函數在一點不可導有2種情況    （這就排除了震蕩的情況）
1，定義式極限趨于無窮 （或者左無窮或右 或都無窮）  也就是斜率無窮大
  2， 左右右導數存在不相等      

第一步 證單調
單調性用比值   f(x+Δx)/f(x) =f(Δx)      設 Δx>0    Δx趨于0但是比0大      
設它的函數值大于f(0)=1 （f(0)=1 用賦值很容易求得）  

前項比后項就大于1 ，那么整個函數就遞增   
如果 設它小于那么 就遞減      
相等 就是常數函數
所以嚴格單調


第二步 證左導數，右導數存在
如果定義式極限趨于無窮  那么與條件不符   因為在0點斜率為無窮大就是Y軸了 而且取不到f(0)=1  也不是嚴格單調的 所以得到  左右導數的極限存在  主要看是否相等
此處因為是嚴格單調函數所以排除了震蕩的情況



第三步 證左右導數相等  見圖

此圖是研友幫忙整理

用   f(x)*f(-x)=1  得到二者的替換   然后    用定義考慮在0左右的 導數情況   最后能導出2者不管符號還是趨近程度相等 （因為導出是同一個式子）  中間要用到函數連續的條件


然后解微分方程 最后求得答案

    如果大家有好的方法跟我分享下  或者我的證明有錯誤

皇家粥少

高手都睡覺了么  。。。。。。。。看來今晚睡不著了  呼呼。。。。。

chongyou2012

學過信號與系統嗎？根據時域和頻域的關系，可以用傅立業變換或者拉譜拉斯變換證明！試試看！現在躺在床上，明天我試試。

wolock

我發現原題了{:soso_e141:}，這不是吉米多維奇第812題么，不過題目還有一個前提，就是h(x)不是恒為0的常數

皇家粥少

chongyou2012 發表于 2011-8-12 00:08
學過信號與系統嗎？根據時域和頻域的關系，可以用傅立業變換或者拉譜拉斯變換證明！試試看！現在躺在床上， ...

汗 大神 我這沒學過  你是數學系的？？

皇家粥少

wolock 發表于 2011-8-12 00:09
我發現原題了，這不是吉米多維奇第812題么，不過題目還有一個前提，就是h(x)不是恒為0的常數 ...

帥哥 有能否 告知下 答案  今晚不想失眠啊  我這人 有不會的題 大腦就會一直想的。

wolock

這怎么上傳圖片啊，我不會用，不然你去網上下一本吧，網上多得很

wolock

LZ不是考數一的吧，數一能考到這么難？

皇家粥少

wolock 發表于 2011-8-12 00:18
LZ不是考數一的吧，數一能考到這么難？

我考數三   遇到一個不錯的題就研究一下  正好同學 問我    沒想到一下卡住了  從九點半弄到11點半   。。。。  
幸好遇到你 不然 我今晚肯定失眠的    3Q
考研不會有這種難度吧？

wolock

皇家粥少 發表于 2011-8-12 00:21
我考數三   遇到一個不錯的題就研究一下  正好同學 問我    沒想到一下卡住了  從九點半弄到11點半   。 ...

我覺得數學系的有可能考到這個程度，高數要能到這個程度估計至少3/4的人做不了