考研數(shù)學(xué)講座（17）論證不能憑感覺

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-5-4 08:10

一元微分學(xué)概念眾多，非常講究條件。討論問題時，要努力從概念出發(fā)，積極運用規(guī)范的算法與爛熟的基本素材。絕不能憑感覺憑想象就下結(jié)論。

1. x 趨于∞時，求極限  lim xsin（2x∕(x平方+1)  ,你敢不敢作等價無窮小替換?

      分析只憑感覺，多半不敢。依據(jù)定義與規(guī)則，能換就換。

   x 趨于∞時，α = 2x∕(x平方+1)是無窮小，sinα 是無窮小，

   sinα（x） ~ α（x）且 sinα 處于“因式”地位。可以換。

   等價無窮小替換后，有理分式求極限，是“化零項法”處理的標準∞∕∞型，答案為 2

      2.  設(shè) f(x) 可導(dǎo)，若 f(x) 是奇（偶）函數(shù)（周期函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，有界函數(shù)），它的導(dǎo)函數(shù) fˊ(x)有什么樣的奇偶性（周期性，單調(diào)性，有界性）？
   分析  有定義數(shù)學(xué)式的概念，一定要先寫出其定義式。簡單一點也行。比如

      奇函數(shù) f(-x)= -f(x)       周期為T的函數(shù) f(x+T)= f(x)

等式兩端分別求導(dǎo)，得 fˊ(-x) = fˊ(x)          fˊ(x+T)= fˊ(x)

（實際上，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，（f(-x)）ˊ= fˊ(-x) (-x)ˊ= -fˊ(-x)）

   所以，奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)；偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)。（如果高階可導(dǎo)，還可以逐階說下去。）周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也是周期函數(shù)。很有趣的是，因為 (x)ˊ= 1 ，有的非周期函數(shù)，比如 y = x + sinx ，的導(dǎo)數(shù)卻是周期函數(shù)。

（潛臺詞：周期函數(shù)的原函數(shù)不一定是周期函數(shù)。）

   單調(diào)函數(shù)定義中沒有等式的概念，可以先在基本初等函數(shù)中舉例觀察。

   如 y = x 單增，yˊ = 1 不是單調(diào)函數(shù)。y = sinx 在（0，π/2）單增，yˊ = conx 單減，沒有確定的結(jié)論。

   有界性討論相對較為困難。如果注意到導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)圖形的切線斜率。即切線傾角的正切。就可以想到，在x 趨于x0 時，要是導(dǎo)數(shù)值無限增大，相應(yīng)的圖形切線就趨向于與x 軸垂直。顯然，圓周上就有具豎直切線的點。

   取 y =√（1-x的平方），它在[0，1]有界，但是 x 趨于 1 時，其導(dǎo)數(shù)的絕對值趨于正無窮。

   這個反例說明有界函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不一定有界。

   （畫外音：寫出來很嚇人啊。  x → 1 時，lim f (x) = 0 ，而 lim fˊ(x) = -∞ ）

    3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)一定連續(xù)。有間斷點的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)就一定間斷嗎？
   分析  連續(xù)函數(shù)的復(fù)合，花樣更多。原因在于復(fù)合函數(shù)f（g（x））的定義域，是f（x）的定義域與g（x）值域的交。有“病”的點可能恰好不在“交”內(nèi)。因而，有間斷點的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)不一定間斷。比如：

   取分段函數(shù) g（x）為，x  > 0 時 g =1 ，  x ≤ 0 時 g = -1，0是其間斷點。

   取 f（u）=√u ，則 f（g（x））= 1 在 x  > 0 時有定義且連續(xù)。

還有一些原因讓“病態(tài)點”消失。

   如果只圖簡單，你可以取 f（u）為常函數(shù)。以不變應(yīng)萬變。

   取 f（u）= u 的平方，則 f（g（x））= 1 ，顯然是個連續(xù)函數(shù)。

   4.    設(shè) f (x)可導(dǎo)，若x趨于 +∞ 時，lim f (x) = +∞ ,是否必有l(wèi)im fˊ(x)= +∞

      分析  稍為一想，就知為否。例如  y = x

      更復(fù)雜但頗為有趣的是 y = ln x ，x 趨于 +∞ 時，它是無窮大。但是 yˊ = 1∕x 趨于0 ，這就是對數(shù)函數(shù)異常緩慢增長的原因。

   5. 設(shè)f(x)可導(dǎo)，若 x 趨于+∞時，lim fˊ(x) = +∞ , 是否必有  lim f(x) = +∞

      分析  用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，這是微積分的正道。首先要體念極限（見指導(dǎo)（3）。）：

   因為 lim fˊ(x) = +∞，所以當 x 充分大時，不仿設(shè) x > x0 時，總有 fˊ(x)>1

      用拉格朗日公式給函數(shù)一個新的表達式 f (x)= f (x0)+ fˊ(ξ)(x-x0) , x0 <ξ＜ x

         (潛臺詞: ξ = ξ(x) 。你有這種描述意識嗎？)

      進而就有,  x >x0 時,  f (x) >f (x0) + 1(x-x0) （畫外音：這一步是高級動作。）

因為 f (x0)是個常數(shù)，x0是我們選擇的定點，所以上式表明，必有 lim f (x) = +∞

      6 。設(shè) f (x)可導(dǎo)，若 x 趨于 -∞ 時，lim fˊ(x) = -∞ , 是否必有 lim f (x)= -∞

      分析  否。你如果與上述問題5對比，認為情形相仿，結(jié)論必有。那就太想當然了。

      請你還是老老實實地象5中那樣寫出推理吧。結(jié)論是

      若 x  趨于 -∞ 時，lim fˊ(x)= -∞ ,  則必有 lim f (x) = +∞

      7.  設(shè) f (x) 可導(dǎo)，若 x 趨于+∞時，lim f (x) = c（常數(shù)，）是否必有 lim f ˊ(x) = 0
         分析  否。lim fˊ(x) 有可能不存在。

   這是最容易憑感覺想當然的一個題目。我讀本科時，最初的想法就是，“l(fā)im f(x) = c 表示函數(shù)圖形有水平漸近線，函數(shù)又可導(dǎo)，當然在 x 趨于+∞時，切線就趨于水平了。”

         想當然的原因之一是我們見識太少，腦子里的函數(shù)都較簡單，圖形很光滑漂亮。之二則是對于漸近線的初等理解有慣性。

      由極限定義的水平漸近線，并不在乎曲線中途是否與其相交。比如，

      曲線可以以漸近線為軸震蕩，最終造成 lim fˊ(x) 不存在的后果。

      對比條件強化 —— 如果 lim fˊ(x) 存在，則必有 lim fˊ(x) = 0

            用反證法證明。且不仿設(shè) x 趨于 +∞ 時 lim fˊ(x) = A >0

            與前述5中同樣，可以選定充分大的正數(shù) x0，使 x>x0 時，總有 fˊ(x) > A/2 ，然后用拉格朗日公式給函數(shù)一個新的表達式，導(dǎo)數(shù)條件管住 ξ ，從而有

      f (x) >f (x0) + A(x-x0) /2 —→+∞             矛盾。

      8. 函數(shù)在一點可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)大于0 ，能說函數(shù)在這一點單增嗎？

      分析  不能。函數(shù)的單調(diào)性是宏觀特征，背景是區(qū)間。函數(shù)在一點可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)大于0，其間所蘊含的信息只能通過可導(dǎo)的定義去挖掘。即先把條件還原成定義算式，即 x 趨于x0 時，lim ( f (x)-f（x0））/ （x-x0）> 0

         如果沒有別的條件，下一步就試試體念符號。即在x0鄰近，分子分母同號。進而在其右側(cè)鄰近，分子分母皆為正，f (x) > f（x0）。但是，我們不知道函數(shù)值相互間的大小。

*9  設(shè)f (x)可導(dǎo)，若fˊ(a)·fˊ(b) < 0 ，則（a，b）內(nèi)必有點c ，fˊ(c) = 0
         分析  對。盡管可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定連續(xù)。但是，導(dǎo)函數(shù)天然地滿足介值定理。這個結(jié)論在微積分中叫“達布定理”。

      在本篇問題8中，我們講了“一點導(dǎo)數(shù)大于0”的邏輯推理。現(xiàn)在不仿設(shè) fˊ(a) > 0  而  fˊ(b) < 0

            分別在a ， b兩點處寫出導(dǎo)數(shù)定義式，體念極限符號，（本篇問題8。）可以綜合得到結(jié)論：

      函數(shù)的端值 f (a)，f (b) 都不是 f (x)在[a，b] 上的最大值。

      最大值只能在（a，b）內(nèi)一點實現(xiàn)，該點處導(dǎo)數(shù)為0

            好啊，多少意外有趣事，盡在身邊素材中。要的是腳踏實地，切忌空想。

[ 本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2010-5-4 08:19 編輯 ]

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-5-29 18:35

可以一看

fanfanjing · 發(fā)表于 2010-5-29 22:38

概念條條在理

wubingwinner · 發(fā)表于 2010-6-1 08:52

多么美好啊數(shù)學(xué)也可以這樣去理解呀

wubingwinner · 發(fā)表于 2010-6-1 08:53

多么美好啊數(shù)學(xué)也可以這樣去理解呀

sdc2010 · 發(fā)表于 2010-10-6 15:52

戰(zhàn)地老師，導(dǎo)數(shù)條件管住 ξ是什么意思？出現(xiàn)過好多次，但是我沒能理解
還有，第八個，能解釋一下為什么不是單增的么？不是x0右邊的大于f（x0），左邊的小于f（x0）么？

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-10-7 08:32

(1)比如，已知導(dǎo)函數(shù)恒正，則 ξ點處的

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-10-7 08:36

想想單調(diào)的定義。不能只與一個點比函數(shù)值的大小。

sdc2010 · 發(fā)表于 2010-10-7 09:09

第一題你好像沒寫完整
第二個還是轉(zhuǎn)不過彎來[em:15]

sdc2010 · 發(fā)表于 2010-10-7 09:19

戰(zhàn)地老師，某點單增是什么意思？它具體是個多大的鄰域，第八題，我總認為在一個無限小的鄰域是單增的，我現(xiàn)在明白你的意思了，你是說他們只比x0大，但是相互之間不知道誰大誰小，那鄰域足夠小時，是不是單增的呢？在一點單增是什么意思？謝了

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