考研數學講座（17）論證不能憑感覺

戰地黃花

一元微分學概念眾多，非常講究條件。討論問題時，要努力從概念出發，積極運用規范的算法與爛熟的基本素材。絕不能憑感覺憑想象就下結論。

    1.   x 趨于∞時，求極限  lim xsin（2x∕(x平方+1)  ,你敢不敢作等價無窮小替換?

        分析   只憑感覺，多半不敢。依據定義與規則，能換就換。

     x 趨于∞時，α = 2x∕(x平方+1)是無窮小，sinα 是無窮小，

     sinα（x） ~ α（x）且 sinα 處于“因式”地位。可以換。

     等價無窮小替換后，有理分式求極限，是“化零項法”處理的標準∞∕∞型，答案為 2

         2.  設 f(x) 可導，若 f(x) 是奇（偶）函數（周期函數，單調函數，有界函數），它的導函數 fˊ(x)有什么樣的奇偶性（周期性，單調性，有界性） ？
     分析  有定義數學式的概念，一定要先寫出其定義式。簡單一點也行。比如

          奇函數   f(-x)= -f(x)          周期為T的函數   f(x+T)= f(x)

等式兩端分別求導，得 fˊ(-x) = fˊ(x)             fˊ(x+T)= fˊ(x)

（實際上，由復合函數求導法則， （f(-x)）ˊ= fˊ(-x) (-x)ˊ= -fˊ(-x)）

     所以，奇函數的導數是偶函數；偶函數的導數是奇函數。（如果高階可導，還可以逐階說下去。）周期函數的導數也是周期函數。很有趣的是，因為 (x)ˊ= 1 ，有的非周期函數，比如 y = x + sinx ，的導數卻是周期函數。

    （ 潛臺詞：周期函數的原函數不一定是周期函數。）

      單調函數定義中沒有等式的概念，可以先在基本初等函數中舉例觀察。

      如 y = x 單增，yˊ = 1 不是單調函數。y = sinx 在（0，π/2）單增，yˊ = conx 單減，沒有確定的結論。

      有界性討論相對較為困難。如果注意到導數的幾何意義是函數圖形的切線斜率。即切線傾角的正切。就可以想到，在x 趨于x0 時，要是導數值無限增大，相應的圖形切線就趨向于與x 軸垂直。顯然，圓周上就有具豎直切線的點。

       取 y =√（1-x的平方），它在[0，1]有界，但是 x 趨于 1 時，其導數的絕對值趨于正無窮。

       這個反例說明有界函數的導數不一定有界。

      （畫外音：寫出來很嚇人啊。  x → 1 時 ，lim f (x) = 0 ，而 lim fˊ(x) = -∞ ）

      3.   連續函數的復合函數一定連續。有間斷點的函數的復合函數就一定間斷嗎？
      分析  連續函數的復合，花樣更多。原因在于復合函數f（g（x））的定義域，是f（x）的定義域與g（x）值域的交。有“病”的點可能恰好不在“交”內。因而，有間斷點的函數的復合函數不一定間斷。比如：

       取分段函數 g（x）為，x  > 0 時 g =1   ，  x ≤ 0 時 g = -1，0是其間斷點。

       取 f（u）=√u ，則 f（g（x））= 1 在 x  > 0 時有定義且連續。

還有一些原因讓“病態點”消失。

      如果只圖簡單，你可以取 f（u）為常函數。以不變應萬變。

      取 f（u）= u 的平方 ，則 f（g（x））= 1 ，顯然是個連續函數。

      4.     設 f (x)可導，若x趨于 +∞ 時 ，lim f (x) = +∞ ,是否必有lim fˊ(x)= +∞

          分析  稍為一想，就知為否。 例如  y = x

          更復雜但頗為有趣的是 y = ln x ，x 趨于 +∞ 時 ，它是無窮大。但是 yˊ = 1∕x 趨于0 ，這就是對數函數異常緩慢增長的原因。

      5.    設f(x)可導，若 x 趨于+∞時，lim fˊ(x) = +∞ , 是否必有  lim f(x) = +∞

          分析  用導數研究函數，這是微積分的正道。首先要體念極限（見指導（3）。）：

      因為 lim fˊ(x) = +∞，所以當 x 充分大時，不仿設 x > x0 時，總有 fˊ(x)>1

          用拉格朗日公式給函數一個新的表達式   f (x)= f (x0)+ fˊ(ξ)(x-x0) , x0 <ξ＜ x   

             (潛臺詞: ξ = ξ(x) 。你有這種描述意識嗎？)

         進而就有,  x >x0 時,  f (x) >f (x0) + 1(x-x0)    （畫外音：這一步是高級動作。）

因為 f (x0)是個常數，x0是我們選擇的定點，所以上式表明，必有 lim f (x) = +∞

         6 。 設 f (x)可導，若 x 趨于 -∞ 時，lim fˊ(x) = -∞ , 是否必有 lim f (x)= -∞

         分析  否。你如果與上述問題5對比，認為情形相仿，結論必有。那就太想當然了。

        請你還是老老實實地象5中那樣寫出推理吧。結論是  

        若 x  趨于 -∞ 時，lim fˊ(x)= -∞ ,  則必有   lim f (x) = +∞

        7.  設 f (x) 可導，若 x 趨于+∞時，lim f (x) = c（常數，）是否必有 lim f ˊ(x) = 0
            分析  否。lim fˊ(x) 有可能不存在。

       這是最容易憑感覺想當然的一個題目。我讀本科時，最初的想法就是，“lim f(x) = c 表示函數圖形有水平漸近線，函數又可導，當然在 x 趨于+∞時，切線就趨于水平了。”

            想當然的原因之一是我們見識太少，腦子里的函數都較簡單，圖形很光滑漂亮。之二則是對于漸近線的初等理解有慣性。

        由極限定義的水平漸近線，并不在乎曲線中途是否與其相交。比如，

        曲線可以以漸近線為軸震蕩，最終造成 lim fˊ(x) 不存在的后果。

        對比條件強化 —— 如果 lim fˊ(x) 存在，則必有 lim fˊ(x) = 0

              用反證法證明。且不仿設 x 趨于 +∞ 時 lim fˊ(x) = A >0

              與前述5中同樣，可以選定充分大的正數 x0，使 x>x0 時，總有 fˊ(x) > A/2 ，然后用拉格朗日公式給函數一個新的表達式，導數條件管住 ξ ，從而有

         f (x) >f (x0) + A(x-x0) /2 —→+∞               矛盾。

         8.   函數在一點可導，且導數大于0 ，能說函數在這一點單增嗎？

        分析  不能。函數的單調性是宏觀特征，背景是區間。函數在一點可導，且導數大于0，其間所蘊含的信息只能通過可導的定義去挖掘。即先把條件還原成定義算式，即   x 趨于x0 時，lim ( f (x)-f（x0））/ （x-x0）> 0

             如果沒有別的條件，下一步就試試體念符號。即在x0鄰近，分子分母同號。進而在其右側鄰近，分子分母皆為正，f (x) > f（x0） 。但是，我們不知道函數值相互間的大小。

       *9  設f (x)可導，若fˊ(a)·fˊ(b) < 0 ，則（a，b）內必有點c ，fˊ(c) = 0
            分析  對。盡管可導函數的導函數不一定連續。但是，導函數天然地滿足介值定理。這個結論在微積分中叫“達布定理”。

        在本篇問題8中，我們講了“一點導數大于0”的邏輯推理。現在不仿設 fˊ(a) > 0  而  fˊ(b) < 0

              分別在a ， b兩點處寫出導數定義式，體念極限符號，（本篇問題8。）可以綜合得到結論：

          函數的端值 f (a)，f (b) 都不是 f (x)在[a，b] 上的最大值。

         最大值只能在（a，b）內一點實現，該點處導數為0

               好啊，多少意外有趣事，盡在身邊素材中。要的是腳踏實地，切忌空想。

[ 本帖最后由 戰地黃花 于 2010-5-4 08:19 編輯 ]

戰地黃花

可以一看

fanfanjing

概念條條在理

wubingwinner

多么美好啊 數學也可以這樣去理解呀

wubingwinner

多么美好啊 數學也可以這樣去理解呀

sdc2010

戰地老師，導數條件管住 ξ是什么意思？出現過好多次，但是我沒能理解
還有，第八個，能解釋一下為什么不是單增的么？不是x0右邊的大于f（x0），左邊的小于f（x0）么？

戰地黃花

(1)比如，已知導函數恒正，則 ξ點處的

戰地黃花

想想單調的定義。不能只與一個點比函數值的大小。

sdc2010

第一題你好像沒寫完整
第二個還是轉不過彎來[em:15]

sdc2010

戰地老師，某點單增是什么意思？它具體是個多大的鄰域，第八題，我總認為在一個無限小的鄰域是單增的，我現在明白你的意思了，你是說他們只比x0大，但是相互之間不知道誰大誰小，那鄰域足夠小時，是不是單增的呢？在一點單增是什么意思？謝了