介紹個證明拉格朗日和柯西中值定理的小技巧——K值法

我要研了 · 發(fā)表于 2017-4-18 14:46

1、拉格朗日中值定理
一般形式寫為f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)或f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
用K替換f'(ξ)，就變?yōu)榱薴(b)-f(a)=K(b-a)，
變形為對稱形式f(b)-Kb=f(a)-Ka。
吧a或b換成x構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-Kx，利用羅爾中值定理即可。

2、柯西中值定理
形式為[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)，
同樣的用K把式子右邊替換掉，變成[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=K，
變形為對稱形式f(b)-Kg(b)=f(a)-kg(a)，
然后構(gòu)造函數(shù)利用羅爾即可。