我也問道泰勒展開的問題

13不拼是2b · 發表于 2012-10-6 17:53

全書上的一道題，根號下1+x乘以cosx展開成三階麥克勞林，根號下1+x=1+ax^2+bx^3+o(x^3) cosx=1-cx^2+o(x^3) ，abc都是具體的數就不打了，我想問的是相乘的時候4次冪 5次冪為什么都沒有了

另一道題f（x）=x-（a+be^x）sinx是x的5階無窮小確定ab的值，關于e^x和sinx展開成幾階的問題，，我自己試了一下，只要乘積有x的5次冪就行，e^x 和sinx沒有必要都展成5階的，所以這道題有很多展開形式相應的f（x）也有很多形式但都不影響ab的值

我想說我的這種想法是否有道理望解答

5583777 · 發表于 2012-10-6 22:54

e^x和sinx都要展開成5階再乘，才能保證“不漏項”，精度夠！

13不拼是2b · 發表于 2012-10-6 23:01

5583777 發表于 2012-10-6 22:54
e^x和sinx都要展開成5階再乘，才能保證“不漏項”，精度夠！

額題記錯了不過不影響是e^(x^2) 答案這項只展開到4次啊e^(x^2)=1+x^2+(x^4)/2+o(x^5)

刺客信條2 · 發表于 2012-10-6 23:02

第一題其實我今晚也剛好在做，也對李永樂的解釋不太明白，望高手賜教

vancky · 發表于 2012-10-6 23:03

這么說吧，如果我買51塊5毛3分錢東西，老板說我看你實在，那一塊錢就算了，這時候來了一句，5毛3分還需要給嗎？
3次冪都讓你整成高階的了，4次冪的系數還有什么意思。那一塊錢都讓老板抹掉了，5毛3分還差嗎？
展開成幾階不是隨心所欲的，為什么只要乘起來有5階就行了。
其實是這樣的假設展開的情況為A(x)B(x)，A,B都是多項式，那么只要乘積次數超過5階，都可以忽略，所以A(x)中的x^6肯定不用管了，其他的你還可以根據B(x)的情況再選擇。
但是，所謂隨心所欲其實是不對的，只是你可以偷懶一些，少些一些項，根本的原理來說是全部展開，然后忽略一定的高階項。

13不拼是2b · 發表于 2012-10-6 23:09

vancky 發表于 2012-10-6 23:03
這么說吧，如果我買51塊5毛3分錢東西，老板說我看你實在，那一塊錢就算了，這時候來了一句，5毛3分還需要給 ...

謝謝你的形象比喻，，后面那道題理解了，，但是關于高階省略的問題有沒有理論上的證明啊

13不拼是2b · 發表于 2012-10-6 23:10

13不拼是2b 發表于 2012-10-6 23:01
額題記錯了不過不影響是e^(x^2) 答案這項只展開到4次啊e^(x^2)=1+x^2+(x^4)/2+o(x^5)
...

是我錯了，e^(x^2)的五階是0，所以才有四次冪，，感謝。

vancky · 發表于 2012-10-6 23:18

理論證明  你需要注意一個問題
你展開的時候寫的f(x)~XX  注意，不是等號，是約等號。
保證這個號成立只需要  f(x)/XX 的在0處的極限為一個非0數或者嚴格一些就是1
如果現在XX到了2階項就可以保證極限為1了，那么XX再加100000x^3也就沒有影響了

13不拼是2b · 發表于 2012-10-6 23:37

vancky 發表于 2012-10-6 23:18
理論證明你需要注意一個問題
你展開的時候寫的f(x)~XX 注意，不是等號，是約等號。
保證這個號成立只 ...

可不可以這么理解，，如果展成三階，如x^3+o(x^3) 那么高于三階的都可以看成是x^3的高階無窮小，就是o(x^3)+o(x^4)+......=o(x^3)

vancky · 發表于 2012-10-6 23:39

13不拼是2b 發表于 2012-10-6 23:37
可不可以這么理解，，如果展成三階，如x^3+o(x^3) 那么高于三階的都可以看成是x^3的高階無窮小，就是o(x^ ...

這樣理解也是可以的

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