求解幾道關(guān)于 <級(jí)數(shù)斂散性> 的題。糾結(jié)！

廖多多 · 發(fā)表于 2012-7-11 11:20

答案： 1，p<e時(shí)收斂，當(dāng)p>=e時(shí)發(fā)散。
         2，收斂
         3，收斂
         4，收斂
疑問：第1題用的是比值判別法，但P=e時(shí)如何判斷呢？
      第3題積出來的一般項(xiàng)2*[(1/n)^1/2-arctant(1/n)^1/2],然后不知道做啊。
      第4題帶sin的完全不會(huì)啊，感覺極限也不好求

Out_of_Infinity · 發(fā)表于 2012-7-11 11:30

1.
p=e可能要用到Stirling公式或者證明這個(gè)公式的部分推導(dǎo)

4.
(-1)^nsin(1/lnn)，萊布尼茲審斂法

Out_of_Infinity · 發(fā)表于 2012-7-11 11:37

本帖最后由 Out_of_Infinity 于 2012-7-11 11:39 編輯

3.
首先從積分形式來看是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，可以用極限審斂法
而2*[(1/n)^1/2-arctant((1/n)^1/2)] ~ 2/3n^(3/2)，所以收斂

廖多多 · 發(fā)表于 2012-7-11 12:03

Out_of_Infinity 發(fā)表于 2012-7-11 11:37
3.
首先從積分形式來看是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，可以用極限審斂法
而2*[(1/n)^1/2-arctant((1/n)^1/2)] ~ 2/3n^(3/2)， ...

2*[(1/n)^1/2-arctant((1/n)^1/2)] 比上 2/n^(3/2)，取極限的話等于0
是不是分母選任意一個(gè)不為0的收斂級(jí)數(shù)的通項(xiàng)就可以了？

廖多多 · 發(fā)表于 2012-7-11 12:06

Out_of_Infinity 發(fā)表于 2012-7-11 11:30
1.
p=e可能要用到Stirling公式或者證明這個(gè)公式的部分推導(dǎo)

用萊布尼茨證單調(diào)性時(shí) 是用sin(1/lnn)~1/lnn嗎

Mengxuer · 發(fā)表于 2012-7-11 12:24

1、u(n+1)/un=p/(1+1/n)^n，當(dāng)p=e時(shí)，因?yàn)閿?shù)列{(1+1/n)^n}單調(diào)遞增趨向于e，所以u(píng)(n+1)/un≥1，通項(xiàng)極限非零，級(jí)數(shù)發(fā)散
3、與p=3/2的p級(jí)數(shù)進(jìn)行比較。計(jì)算一下會(huì)發(fā)現(xiàn)極限lim(x→+∞) (x-arctanx)/x^3=1/3

Out_of_Infinity · 發(fā)表于 2012-7-11 12:27

本帖最后由 Out_of_Infinity 于 2012-7-11 12:29 編輯

廖多多發(fā)表于 2012-7-11 12:06
用萊布尼茨證單調(diào)性時(shí) 是用sin(1/lnn)~1/lnn嗎

不是，萊布尼茲審斂法是交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法，un>0時(shí)如果un>un+1則∑((-1)^n)un收斂
而極限審斂法只適用于正項(xiàng)級(jí)數(shù)。當(dāng)然取絕對(duì)值之后，可以用極限審斂法得出條件收斂

廖多多 · 發(fā)表于 2012-7-11 18:36

Mengxuer 發(fā)表于 2012-7-11 12:24
1、u(n+1)/un=p/(1+1/*，當(dāng)p=e時(shí)，因?yàn)閿?shù)列{(1+1/*}單調(diào)遞增趨向于e，所以u(píng)(n+1)/un≥1，通項(xiàng)極限非 ...

謝謝
1、你用的是比值審斂法，極限lim(x→+∞) u(n+1)/un>1才時(shí)能說明級(jí)數(shù)發(fā)散。
而且，取極*，分母(1+1/*應(yīng)該可以用等價(jià)無窮小直接替換啊p=e,極限結(jié)果應(yīng)該還是1啊{:soso_e132:}

廖多多 · 發(fā)表于 2012-7-11 18:41

Out_of_Infinity 發(fā)表于 2012-7-11 11:37
3.
首先從積分形式來看是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，可以用極限審斂法
而2*[(1/n)^1/2-arctant((1/n)^1/2)] ~ 2/3n^(3/2)， ...

對(duì)。。。。。。。。。

廖多多 · 發(fā)表于 2012-7-11 18:42

Out_of_Infinity 發(fā)表于 2012-7-11 11:30
1.
p=e可能要用到Stirling公式或者證明這個(gè)公式的部分推導(dǎo)

第四題用交錯(cuò)級(jí)數(shù)萊布尼茨證單調(diào)性好像不好做，應(yīng)該用絕對(duì)收斂吧{:soso_e132:}

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