求助：線代的證明題

心去旅行 · 發(fā)表于 2012-5-23 18:34

A,B均為n階矩陣，r(A)+r(B)<N,證明：A，B有公共的特征向量。
希望大家能給出多種證明.謝謝！

xjtulx · 發(fā)表于 2012-5-23 18:57

A屬于特征值0的非線性相關(guān)的特征向量有n-r(A)個(gè)
B屬于特征值0的非線性相關(guān)的特征向量有n-r(B)個(gè)

假設(shè)A和B屬于特征值0的特征向量都線性無關(guān)，則A和B屬于特征值0的非線性相關(guān)特征向量一共2n-r(A)-r(B)>n
這和“n維向量組最多有n個(gè)線性無關(guān)的向量”相矛盾

假設(shè)不成立，即A,B必有屬于特征值0的且線性相關(guān)的特征向量。
然后就可以推出屬于A的這個(gè)特征向量，也必然屬于B。
即有公共的特征向量。

心去旅行 · 發(fā)表于 2012-5-23 19:23

xjtulx 發(fā)表于 2012-5-23 18:57
A屬于特征值0的非線性相關(guān)的特征向量有n-r(A)個(gè)
B屬于特征值0的非線性相關(guān)的特征向量有n-r(B)個(gè)

謝啦！我看全書上說還可以用聯(lián)立方程組解的，不知道怎么做

xjtulx · 發(fā)表于 2012-5-23 20:01

心去旅行發(fā)表于 2012-5-23 19:23
謝啦！我看全書上說還可以用聯(lián)立方程組解的，不知道怎么做

令矩陣C=[A
B]

那么r(C)<=r(A)+r(B)<N
即方程Cx=0有非零解x。
滿足Ax=0，Bx=0
所以x是A,B的公共特征值。

心去旅行 · 發(fā)表于 2012-5-23 21:08

xjtulx 發(fā)表于 2012-5-23 20:01
令矩陣C=[A
B]

謝謝{:soso_e100:}

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