求助：線代的證明題

心去旅行

A,B均為n階矩陣，r(A)+r(B)<N,證明：A，B有公共的特征向量。
希望大家能給出多種證明.謝謝！

xjtulx

A屬于特征值0的非線性相關的特征向量有n-r(A)個
B屬于特征值0的非線性相關的特征向量有n-r(B)個

假設A和B屬于特征值0的特征向量都線性無關，則A和B屬于特征值0的非線性相關特征向量一共2n-r(A)-r(B)>n
這和“n維向量組最多有n個線性無關的向量”相矛盾

假設不成立，即A,B必有屬于特征值0的且線性相關的特征向量。
然后就可以推出屬于A的這個特征向量，也必然屬于B。
即有公共的特征向量。

心去旅行

xjtulx 發表于 2012-5-23 18:57
A屬于特征值0的非線性相關的特征向量有n-r(A)個
B屬于特征值0的非線性相關的特征向量有n-r(B)個

謝啦！我看全書上說還可以用聯立方程組解的，不知道怎么做

xjtulx

心去旅行 發表于 2012-5-23 19:23
謝啦！我看全書上說還可以用聯立方程組解的，不知道怎么做

令矩陣C=[A
               B]

那么r(C)<=r(A)+r(B)<N
即方程Cx=0有非零解x。
滿足Ax=0，Bx=0
所以x是A,B的公共特征值。

心去旅行

xjtulx 發表于 2012-5-23 20:01
令矩陣C=[A
               B]

謝謝{:soso_e100:}