男生追女生數(shù)學(xué)建模分析

idhyt · 發(fā)表于 2012-5-10 19:12

本帖最后由 idhyt 于 2012-5-10 19:14 編輯

問題分析
男生追女生，對(duì)男生來說最重要的是學(xué)習(xí)、愛情兩不誤。因此我們引進(jìn)男生的學(xué)業(yè)成績函數(shù)Y(t)。
首先，我們不考慮男生的追求攻勢(shì)，則影響該函數(shù)的因素主要是兩個(gè)人的關(guān)系程度。為了便于分析，我們將兩人的關(guān)系簡化為女生對(duì)該男生的疏遠(yuǎn)度，于是引入疏遠(yuǎn)度函數(shù)X(t)。
問題就轉(zhuǎn)化為求解Y(t)和X(t)的相互作用關(guān)系。利用微分，很容易就可以求出兩者的關(guān)系。但現(xiàn)實(shí)中男生可能會(huì)對(duì)該女生發(fā)起一輪輪的追求攻勢(shì)，因此還要考慮到追求攻勢(shì)對(duì)模型的影響。而追求攻勢(shì)又與女生的疏遠(yuǎn)度有關(guān)，可以簡化地將兩者看成是正比關(guān)系。將追求攻勢(shì)加入到模型中，就可以找出攻勢(shì)與Y(t)和X(t)的關(guān)系了。
模型假設(shè)
1、t時(shí)刻A君的學(xué)業(yè)成績?yōu)閅(t)；
2、t時(shí)刻B女對(duì)A君的疏遠(yuǎn)度為X(t)；
3、當(dāng)A君沒開始追求B女時(shí)B女對(duì)A君的疏遠(yuǎn)度增長（平時(shí)發(fā)現(xiàn)的A君的不良行為）符合Malthus模型，即dX/dt=aX(t)其中a為正常數(shù)。
4、當(dāng)Y(t)存在時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)減少X(t)的值與X(t)的值成正比，比例常數(shù)為b，從而 dX(t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t)。
5、A君發(fā)起對(duì)B女追求后，立即轉(zhuǎn)化為B女對(duì)A君的好感，并設(shè)定轉(zhuǎn)化系數(shù)為 α，而隨著的A君發(fā)起對(duì)B女的追求，A君學(xué)業(yè)的自然下降率與學(xué)業(yè)成績成正比，比例系數(shù)為e。于是有dY(t)/dt=αbX(t)Y(t)-eY(t)。
模型構(gòu)成
由假設(shè)4和假設(shè)5，就得到了學(xué)業(yè)與疏遠(yuǎn)度在無外界干擾的情況下互相作用的模型：
{dX(t)/dt=aX-bXY；dY(t)/dt=cXY-eY} 其中c=αb. (1)
這是一個(gè)非線性自治系統(tǒng)，為了求兩個(gè)數(shù)X與Y的變化規(guī)律，我們對(duì)它作定性分析。令{aX-bXY=0；cXY-eY=0} 解得系統(tǒng)(1)的兩個(gè)平衡位置為：O(0,0)，M (e/c,a/b)。從(1)的兩方程中消去dt，分離變量可求得首次積分：
F(X,Y)=cX-dln|X|-aln|Y|=k (2)
容易求出函數(shù)F(X,Y)有唯一駐點(diǎn)為M(e/c,a/b)。再用極值的充分條件判斷條件可以判斷M是F的極小值點(diǎn)。同時(shí)易見，當(dāng)X→∞（B女對(duì)A君恨之入骨）或Y→∞ （A君是一塊只會(huì)學(xué)習(xí)的木頭）時(shí)均有F→∞；而X→0（A君作了變形手術(shù)，B女對(duì)他毫無防備）或Y→0（A君不學(xué)無術(shù)，絲毫不學(xué)習(xí)）時(shí)也有F→∞。由此不難看出，在第一象限內(nèi)部連續(xù)的函數(shù)z=F(X,Y)的圖形是以M為最小值點(diǎn)，且在第一卦限向上無限延伸的曲面，因而它與z=k(k>0)的交線在相平面XOY的投影F(X,Y)=k (k>0)是環(huán)繞點(diǎn)M的閉曲線簇。這說明學(xué)業(yè)成績和疏遠(yuǎn)度的指數(shù)成周期性變化。
結(jié)果解釋
從生態(tài)意義上看這是容易理解的，當(dāng)A君的學(xué)習(xí)成績Y(t)下降時(shí)，B女會(huì)疏遠(yuǎn) A君，疏遠(yuǎn)度X(t)上升；于是A君就又開始奮發(fā)圖強(qiáng)，學(xué)習(xí)成績Y(t)又上升了。于是B女就又和A君開始了來往，疏遠(yuǎn)度X(t)又下降了。與B女交往多了，當(dāng)然分散了學(xué)習(xí)時(shí)間，A君的學(xué)習(xí)成績Y(t)下降了。
然而我們可證明，盡管閉軌線不同，但在其周期內(nèi)的X和Y的平均數(shù)量都分別是一常數(shù)，而且恰為平衡點(diǎn)M的兩個(gè)坐標(biāo)。事實(shí)上，由(1)的第二個(gè)方程可得： dY/Ydt=cX- e,兩端在一個(gè)周期時(shí)間T內(nèi)積分，得：
∫(dy/Ydt)dt=c∮Xdt-dT (3)
注意到當(dāng)t經(jīng)過一個(gè)周期T時(shí)，點(diǎn)(X,Y)繞閉軌線運(yùn)行一圈又回到初始點(diǎn)，從而：∫(dY/Ydt)dt=∮dY/Y=0。所以，由(3)式可得：(∫Xdt)/T=e/c。
同理，由(1)的第一個(gè)方程可得：(∫Ydt)/T=a/b。

模型優(yōu)化
考慮到追求攻勢(shì)對(duì)上述模型的影響。設(shè)追求攻勢(shì)與該時(shí)刻的疏遠(yuǎn)度成正比，比例系數(shù)為h，h反映了追求攻勢(shì)的作用力。在這種情況下，上述學(xué)業(yè)與疏遠(yuǎn)度的模型應(yīng)變?yōu)椋?
{dX/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY；dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y} (4)
將(4)式與(1)式比較，可見兩者形式完全相同，前者僅是把(1)中X與Y的系數(shù)分別換成了a-h與e+h。因此，對(duì)(4)式有
x’=(∫Xdt)/T=(e+h)/c，y’=(∫Ydt)/t=(a-h)/b (5)
利用(5)式我們可見：攻勢(shì)作用力h的增大使X’增加，Y’減少。

我的建議
考試期間，由于功課繁忙，使得追求攻勢(shì)減少，即h減小，與平時(shí)相比，將有利于學(xué)業(yè)成績Y的增長。這就是Volterra原理。此原理對(duì)男生有著重要的指導(dǎo)意義：強(qiáng)大的愛情攻勢(shì)有時(shí)不一定能達(dá)到滿意的效果，反而不利與學(xué)業(yè)的成長；有時(shí)通過慢慢接觸，慢慢了解，再加上適當(dāng)?shù)淖非笮袆?dòng)，女生的疏遠(yuǎn)度就會(huì)慢慢降低。學(xué)習(xí)成績也不會(huì)降低！

idhyt · 發(fā)表于 2012-5-10 19:12

沙發(fā)

此情可待cl · 發(fā)表于 2012-5-10 19:15

板凳

此情可待cl · 發(fā)表于 2012-5-10 19:15

小馬扎

此情可待cl · 發(fā)表于 2012-5-10 19:15

地板

胡來子 · 發(fā)表于 2012-5-10 19:24

前排
立意新，模型精。建議投稿《符號(hào)邏輯雜志》，成為中國第二年輕教授。

小丸子@@ · 發(fā)表于 2012-5-10 19:37

前十~~

漠漠么 · 發(fā)表于 2012-5-10 19:40

好貼{:soso_e104:}

楓回路轉(zhuǎn) · 發(fā)表于 2012-5-10 20:03

必須膜拜

說龍 · 發(fā)表于 2012-5-10 20:04

我都不得不嘆服呀

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