男生追女生數學建模分析

idhyt

問題分析
男生追女生，對男生來說最重要的是學習、愛情兩不誤。因此我們引進男生的學業成績函數Y(t)。
首先，我們不考慮男生的追求攻勢，則影響該函數的因素主要是兩個人的關系程度。為了便于分析，我們將兩人的關系簡化為女生對該男生的疏遠度，于是引入疏遠度函數X(t)。
問題就轉化為求解Y(t)和X(t)的相互作用關系。利用微分，很容易就可以求出兩者的關系。但現實中男生可能會對該女生發起一輪輪的追求攻勢，因此還要考慮到追求攻勢對模型的影響。而追求攻勢又與女生的疏遠度有關，可以簡化地將兩者看成是正比關系。將追求攻勢加入到模型中，就可以找出攻勢與Y(t)和X(t)的關系了。
模型假設
1、t時刻A君的學業成績為Y(t)；
2、t時刻B女對A君的疏遠度為X(t)；
3、當A君沒開始追求B女時B女對A君的疏遠度增長（平時發現的A君的不良行為）符合Malthus模型，即dX/dt=aX(t)其中a為正常數。
4、當Y(t)存在時，單位時間內減少X(t)的值與X(t)的值成正比，比例常數為b，從而 dX(t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t)。
5、A君發起對B女追求后，立即轉化為B女對A君的好感，并設定轉化系數為 α，而隨著的A君發起對B女的追求，A君學業的自然下降率與學業成績成正比，比例系數為e。于是有dY(t)/dt=αbX(t)Y(t)-eY(t)。
模型構成
由假設4和假設5，就得到了學業與疏遠度在無外界干擾的情況下互相作用的模型：
{dX(t)/dt=aX-bXY；dY(t)/dt=cXY-eY} 其中c=αb. (1)
這是一個非線性自治系統，為了求兩個數X與Y的變化規律，我們對它作定性分析。令{aX-bXY=0；cXY-eY=0} 解得系統(1)的兩個平衡位置為：O(0,0)，M (e/c,a/b)。從(1)的兩方程中消去dt，分離變量可求得首次積分：
F(X,Y)=cX-dln|X|-aln|Y|=k (2)
容易求出函數F(X,Y)有唯一駐點為M(e/c,a/b)。再用極值的充分條件判斷條件可以判斷M是F的極小值點。同時易見，當X→∞（B女對A君恨之入骨）或Y→∞ （A君是一塊只會學習的木頭）時均有F→∞；而X→0（A君作了變形手術，B女對他毫無防備）或Y→0（A君不學無術，絲毫不學習）時也有F→∞。由此不難看出，在第一象限內部連續的函數z=F(X,Y)的圖形是以M為最小值點，且在第一卦限向上無限延伸的曲面，因而它與z=k(k>0)的交線在相平面XOY的投影F(X,Y)=k (k>0)是環繞點M的閉曲線簇。這說明學業成績和疏遠度的指數成周期性變化。
結果解釋
從生態意義上看這是容易理解的，當A君的學習成績Y(t)下降時，B女會疏遠 A君，疏遠度X(t)上升；于是A君就又開始奮發圖強，學習成績Y(t)又上升了。于是B女就又和A君開始了來往，疏遠度X(t)又下降了。與B女交往多了，當然分散了學習時間，A君的學習成績Y(t)下降了。
然而我們可證明，盡管閉軌線不同，但在其周期內的X和Y的平均數量都分別是一常數，而且恰為平衡點M的兩個坐標。事實上，由(1)的第二個方程可得： dY/Ydt=cX- e,兩端在一個周期時間T內積分，得：
∫(dy/Ydt)dt=c∮Xdt-dT (3)
注意到當t經過一個周期T時，點(X,Y)繞閉軌線運行一圈又回到初始點，從而：∫(dY/Ydt)dt=∮dY/Y=0。所以，由(3)式可得：(∫Xdt)/T=e/c。
同理，由(1)的第一個方程可得：(∫Ydt)/T=a/b。

模型優化
考慮到追求攻勢對上述模型的影響。設追求攻勢與該時刻的疏遠度成正比，比例系數為h，h反映了追求攻勢的作用力。在這種情況下，上述學業與疏遠度的模型應變為：
{dX/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY；dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y} (4)
將(4)式與(1)式比較，可見兩者形式完全相同，前者僅是把(1)中X與Y的系數分別換成了a-h與e+h。因此，對(4)式有
x’=(∫Xdt)/T=(e+h)/c，y’=(∫Ydt)/t=(a-h)/b (5)
利用(5)式我們可見：攻勢作用力h的增大使X’增加，Y’減少。


我的建議
考試期間，由于功課繁忙，使得追求攻勢減少，即h減小，與平時相比，將有利于學業成績Y的增長。這就是Volterra原理。 此原理對男生有著重要的指導意義：強大的愛情攻勢有時不一定能達到滿意的效果，反而不利與學業的成長；有時通過慢慢接觸，慢慢了解，再加上適當的追求行動，女生的疏遠度就會慢慢降低。學習成績也不會降低！

idhyt

沙發

此情可待cl

板凳

此情可待cl

小馬扎

此情可待cl

地板

胡來子

前排
立意新，模型精。建議投稿《符號邏輯雜志》，成為中國第二年輕教授。

小丸子@@

前十~~

漠漠么

好貼{:soso_e104:}

楓回路轉

必須膜拜

說龍

我都不得不嘆服呀