有意思（8）邏輯推理與一個正交問題

戰地黃花 · 發表于 2010-6-6 08:12

如果你作了一個假設，你就建立了邏輯推理的一個基本點。如果你還要作第二個假設，那得小心思考，新的假設是否與第一個假設獨立。
      一個同學在論壇上發貼，先設“對任意x，總有 f（x）>x ”，推出“f（f（x））>f（x）”，突然又假設“f（x）單減”，然后就不明白，“為什么會矛盾”。這就是沒考慮邏輯，隨意作第二個假設造成的。
      數學歷史上，正當人們陶醉于“集合理論”與“勒貝格積分”等成果的完美之際，“悖論”的出現給大家當頭一棒，砸得人暈頭轉向。仿佛有世界末日來臨的感覺。以至于對很多成功的“公理化假設”也提出懷疑：“是否在筑好籬笆之時，已經圈進了狼？”
      思考“第二假設是否與第一個假設獨立”，有時的確較為困難。
看一個線性代數問題。
   （講座（40））例15  設n維行向量組 a1，a 2，---，a k 線性無關，k<n ，以它們為系數作有k個方程的齊次線性方程組。若向量β是這個方程組的非零解。試證向量組 a1，a 2，---，a k，β 線性無關。
      例15是原數學四的考題。它可以深化為，
      *例 “設向量組 β1，β2，---，βr 線性無關，向量組ξ1，ξ2，---，ξ k 線性無關。若前一向量組的每一個向量都與后一向量組的各向量正交。則兩向量組的合并組線性無關。（暫時不寫一個條件）
      證明設有一組數C1，……，C r ，C r+1，……，C r +k，使得
            C1β1 + ……+ C rβr + C r+1 ξ1 + ……+ C r + k ξ k = 0
                     用 β1 對等式兩邊作內積，得 β1ˊβ1 C1 + …… + β1ˊβr C r = 0
                     用 β2 對等式兩邊作內積，得 β2ˊβ1 C1 + …… + β2ˊβr C r = 0
                                                         ……    ……
            用 βr 對等式兩邊作內積，得 βrˊβ1 C1 + …… + βrˊβr C r = 0
               現在，問題歸結為，證明這個齊次方程組僅有零解。

   問題延伸1，若記 A =（β1，β2，---，βr），則系數矩陣恰為 AˊA
                        （潛臺詞：矩陣乘法，“左行右列作內積”）
         問題延伸2，秩R(A) = 秩R(A ′A)
                  證明  作齊次線性方程組 AX = 0  和 A ′AX = 0  ，AX = 0 的解顯然都是 A ′AX = 0 的解。
         如果列向量 β 是 A ′AX = 0 的解，則
                  內積  (Aβ)′(Aβ) = β′A ′Aβ = β′(A ′Aβ)= 0
   這說明 Aβ= 0(向量), 即 A ′AX = 0 的解也都是 AX = 0 的解。兩方程組同解。
         解集秩 n - R(A) = n - R(A ′A)    故秩R(A) = 秩R(A ′A)
            前述關于C1，……，C r 的齊次方程組僅有零解。帶回假設式，由后一向量組的線性無關性知其余系數也全為零。故兩向量組的合并組線性無關。
      （畫外音：這是一個可以記住的結論。請體會證明的特色。）
      好象什么問題都沒有？！？！？！聯想“n + 1 個 n 維向量線性相關。”這里還有向量個數問題。在沒有限定向量個數時，第二個假設，“前一向量組的每一個向量都與后一向量組的各向量正交”，不一定成立。必須先說“k + r ≤ n”
         這個條件不影響證明。有點復雜。慢慢體會。

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-6-6 08:20 編輯 ]

cohesive · 發表于 2010-7-8 11:34

果然是高手。。。。。。。。。。。拜拜教授

agming · 發表于 2010-7-8 11:36

拜讀教授~~~

zsc_beyond · 發表于 2011-3-4 11:47

[em:42]

騎牛看夕陽 · 發表于 2011-5-16 22:20

現在還沒復習到現代啊，看起來很吃力

騎牛看夕陽 · 發表于 2011-5-16 22:21

老師的講義都再哪能找到啊

wlkaoyanzixun · 發表于 2011-7-15 16:54

這是在干嘛！

menmen60 · 發表于 2011-7-21 19:58

拜讀

chenxiaoaa · 發表于 2011-7-22 10:56

謝謝分享

雨季の懷柔 · 發表于 2011-7-23 01:43

復習經驗，技巧在哪里？

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