有意思（8）邏輯推理與一個(gè)正交問題

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-6-6 08:12

如果你作了一個(gè)假設(shè)，你就建立了邏輯推理的一個(gè)基本點(diǎn)。如果你還要作第二個(gè)假設(shè)，那得小心思考，新的假設(shè)是否與第一個(gè)假設(shè)獨(dú)立。
      一個(gè)同學(xué)在論壇上發(fā)貼，先設(shè)“對(duì)任意x，總有 f（x）>x ”，推出“f（f（x））>f（x）”，突然又假設(shè)“f（x）單減”，然后就不明白，“為什么會(huì)矛盾”。這就是沒考慮邏輯，隨意作第二個(gè)假設(shè)造成的。
      數(shù)學(xué)歷史上，正當(dāng)人們陶醉于“集合理論”與“勒貝格積分”等成果的完美之際，“悖論”的出現(xiàn)給大家當(dāng)頭一棒，砸得人暈頭轉(zhuǎn)向。仿佛有世界末日來臨的感覺。以至于對(duì)很多成功的“公理化假設(shè)”也提出懷疑：“是否在筑好籬笆之時(shí)，已經(jīng)圈進(jìn)了狼？”
      思考“第二假設(shè)是否與第一個(gè)假設(shè)獨(dú)立”，有時(shí)的確較為困難。
看一個(gè)線性代數(shù)問題。
   （講座（40））例15  設(shè)n維行向量組 a1，a 2，---，a k 線性無關(guān)，k<n ，以它們?yōu)橄禂?shù)作有k個(gè)方程的齊次線性方程組。若向量β是這個(gè)方程組的非零解。試證向量組 a1，a 2，---，a k，β 線性無關(guān)。
      例15是原數(shù)學(xué)四的考題。它可以深化為，
      *例 “設(shè)向量組 β1，β2，---，βr 線性無關(guān)，向量組ξ1，ξ2，---，ξ k 線性無關(guān)。若前一向量組的每一個(gè)向量都與后一向量組的各向量正交。則兩向量組的合并組線性無關(guān)。（暫時(shí)不寫一個(gè)條件）
      證明設(shè)有一組數(shù)C1，……，C r ，C r+1，……，C r +k，使得
            C1β1 + ……+ C rβr + C r+1 ξ1 + ……+ C r + k ξ k = 0
                     用 β1 對(duì)等式兩邊作內(nèi)積，得 β1ˊβ1 C1 + …… + β1ˊβr C r = 0
                     用 β2 對(duì)等式兩邊作內(nèi)積，得 β2ˊβ1 C1 + …… + β2ˊβr C r = 0
                                                         ……    ……
            用 βr 對(duì)等式兩邊作內(nèi)積，得 βrˊβ1 C1 + …… + βrˊβr C r = 0
               現(xiàn)在，問題歸結(jié)為，證明這個(gè)齊次方程組僅有零解。

   問題延伸1，若記 A =（β1，β2，---，βr），則系數(shù)矩陣恰為 AˊA
                        （潛臺(tái)詞：矩陣乘法，“左行右列作內(nèi)積”）
         問題延伸2，秩R(A) = 秩R(A ′A)
                  證明  作齊次線性方程組 AX = 0  和 A ′AX = 0  ，AX = 0 的解顯然都是 A ′AX = 0 的解。
         如果列向量 β 是 A ′AX = 0 的解，則
                  內(nèi)積  (Aβ)′(Aβ) = β′A ′Aβ = β′(A ′Aβ)= 0
   這說明 Aβ= 0(向量), 即 A ′AX = 0 的解也都是 AX = 0 的解。兩方程組同解。
         解集秩 n - R(A) = n - R(A ′A)    故秩R(A) = 秩R(A ′A)
            前述關(guān)于C1，……，C r 的齊次方程組僅有零解。帶回假設(shè)式，由后一向量組的線性無關(guān)性知其余系數(shù)也全為零。故兩向量組的合并組線性無關(guān)。
      （畫外音：這是一個(gè)可以記住的結(jié)論。請(qǐng)?bào)w會(huì)證明的特色。）
      好象什么問題都沒有？！？！？！聯(lián)想“n + 1 個(gè) n 維向量線性相關(guān)。”這里還有向量個(gè)數(shù)問題。在沒有限定向量個(gè)數(shù)時(shí)，第二個(gè)假設(shè)，“前一向量組的每一個(gè)向量都與后一向量組的各向量正交”，不一定成立。必須先說“k + r ≤ n”
         這個(gè)條件不影響證明。有點(diǎn)復(fù)雜。慢慢體會(huì)。

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