求助：由絕對值發散推出級數發散的問題

lxsahara · 發表于 2009-6-23 15:15

高數下冊P202上說，一般來說，一個級數的絕對值發散，不能斷定級數本身也發散。但是，如果是用比值審斂法或根值審斂法，根據ρ>1判定出的話，則可以斷定級數也發散。因為：

ρ>1可以推出當n→∞時|Un |不趨于0，從而n→∞時Un也不趨于0，因此級數發散。

請問：紅線處結論是如何得出的？

lxsahara · 發表于 2009-6-23 16:45

從理解上來說，是ρ>1時，|Un+1 |>|Un |，從數軸上來看，那么數列{|Un |}就是越來越大的，自然會有|Un |越來越向數軸的右邊走，也就是|Un |不趨于0，也很好理解Un不趨于0.

但這個理解好像只是一種想法。有沒有可以用嚴密的數學語言表達證明出來的？

念尾魚 · 發表于 2009-6-23 17:33

你這樣想已經很正確了。。。思想完全正確。。這樣的語言寫上去哪個老師都不會說你不夠嚴謹吧。。。本來Un趨于0就是級數收斂的必要條件。。。不需要再證明啥了。。。

念尾魚 · 發表于 2009-6-23 17:36

你要還覺得不行。用柯西收斂準則也可以。。。

woyaokaojinron · 發表于 2009-7-17 05:36

從理解上來說，是ρ>1時，|Un+1 |>|Un |，從數軸上來看，那么數列{|Un |}就是越來越大的，自然會有|Un |越來越向數軸的右邊走，也就是|Un |不趨于0，也很好理解Un不趨于0.

這種說法不對，因為單調有界數列必收斂，也就是說單調數列除非你能證明它無界，否則它有可能也收斂，也就是說有可能趨于0！！

xiajianlei · 發表于 2009-7-17 09:04

加絕對值符號了不存在你說的這中情況了把

白蘭天堂隔壁 · 發表于 2009-8-22 13:50

五樓的似乎弄錯了這里是無窮級數也就是∑Un 只有n→∞ 時 Un→0 才能說明該級數是收斂的而你考慮的好像只是數列里面的內容

yeyyy315 · 發表于 2009-8-22 21:25

可以證明紅線部分的逆否命題 Un趨向0 |Un|趨向于零把兩個極限的定義寫出來就得到了

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