全書概率論數理統計部分疑問求大神解答

Camel4122

如圖，第一遍做時感覺簡單沒認真看。
二刷發現Y1,Y2都只是一維正態而已。單憑相關系數為零怎么能推到相互獨立呢。
求大神能夠解釋下。。。

全書19的403頁

Camel4122

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Camel4122

想了很久，一個可行的解釋是：

由于X2 X3獨立且服從一維正態，所以根據約定（X2,X3）服從二維正態，所以他們行列式不為零的線性組合（X2+X3,X2-X3）也服從二維正態，所以通過求出相關系數為0，可以得到Y1 Y2獨立。

這樣邏輯上完全說得通，所以這就是本題解法潛在想要表達的嗎？

抑或是我想太多？畢竟答案中簡單的“所以Y1，Y2獨立”。不過我確實想不到其他的解釋了。求大佬。