考研數(shù)學(xué) | 常考題型及重點(2)：一元函數(shù)積分學(xué)、向量代...

華工引路人

題型分析

華工考研院聯(lián)合華工學(xué)長學(xué)姐針對考研數(shù)學(xué)開設(shè)考點分析主題。本文著重講解考研數(shù)學(xué)的重點，考研鵝可自行查缺補漏。  

第三章、一元函數(shù)積分學(xué)

思考與點撥

定積分與不定積分的概念及運算是積分學(xué)的基礎(chǔ)，利用定積分表示與計算一些幾何、物理量是積分學(xué)的基本應(yīng)用，每年必考，本部分分數(shù)在數(shù)學(xué)一中平均約占高等數(shù)學(xué)部分的17％.

本章的考題類型及知識點大致有：

   

1.不定積分與定積分的計算：

(1)分段函數(shù)求不定積分(未考過)；

(2)分段函數(shù)求定積分與變限積分(數(shù)學(xué)(二)考過)；

(3)計算帶絕對值號的定積分(數(shù)學(xué)(二)考過)；

(4)計算般不定積分(2004  (2)題，2001三題)；

(5)計算一般定積分(2000一(1)題，2007二(11)題)：

(6)計算反常積分(2002  (1)題)；

(7)計算被積函數(shù)含有導(dǎo)數(shù)或變限積分的積分(2005三(17)題)。

2.定積分的應(yīng)用：

(1)幾何應(yīng)用(1997二(2)題，2003三題，2007一(3)題，2009一(3)題，2009三(16)題，2009三(17)題)；

(2)物理應(yīng)用(1997七題，2003六題)；

(3)利用積分和式求極限(1998七題)。

3.定積分(變限積分)的證明題：

(1)不等式問題(包括估值問題)(1997二(2)題，1997二(3)題)；

(2)零點問題(1998九題，2000九題)；

(3)關(guān)于奇、偶函數(shù)、周期函數(shù)的證明題(1999二(1)題，2005二(8)題，2008三(18)題)：

(4)變限函數(shù)關(guān)于單調(diào)性的題(2009一(3)題)；

(5)變限函數(shù)求導(dǎo)問題(1999一(2)題，1998二(1)題，1997五題，2008一(1)題)；

(6)積分中值定理的應(yīng)用(2000九題)。

本章雖然各類型大都考過，但變換具體函數(shù)去命題，考題空間仍很大，讀者注意舉一反三，掌握一般方法。

第四章、向量代數(shù)與空間解析幾何

思考的與點撥

向量代數(shù)主要是向量的表示法與向量的代數(shù)運算(加減、數(shù)乘、點積、叉積)，空間鋸析幾何主要是曲面與空間曲線的方程，重點是平面、直線以及常見曲面(球面、柱面以及旋轉(zhuǎn)面等)的方程，歷年考題中直接對本部分命制的題目不多，且多為選擇題或填空題.

本章的考題類型及知識點大致有：

1.關(guān)于向量運算：

(1)給出一些關(guān)系求另一些關(guān)系(1995一(3)考過)；

(2)兩向量平行、垂直、交角、模等問題(未考過)；

(3)三點共線與三向量共面問題(未考過)；

   

2.直線與平面問題(大都與空間曲面的切平面、空間曲線的切線相結(jié)合的問題)：

(1)求直線方程(1998三題)，2000一(2)題，1992二(3)考過)；

(2)求平面方程(1997四(1)題，2000一(2)題，2003一(2)題，1989二(2)題，1990一(1)題，1991一(3)題，1994一(2)題，1996一(2)題都考過)；

(3)平面與直線的相對位置(平行、垂直、交角等)(1993二(3)題，1995二(1)題都考過)；

(4)點到平面的距離(2006一(4)題，1999八題).

   

3.二次曲面的題(大都與第六章相結(jié)合，給出二次曲面，要求知道它的位置及大致圖形。二次曲面中常用的圖形為橢球面(包括球面)、旋轉(zhuǎn)拋物面、錐面、母線與坐標面平行的柱面.求旋轉(zhuǎn)面的方程(2009三(17)題)。

由以上列舉看出，近十年來本章單獨考的不多，與第五章相結(jié)合的考過四次.應(yīng)該說是屬于不常考的章節(jié).但基本公式、基本方法仍應(yīng)掌握。

第五章多元函數(shù)微分學(xué)

思考與點撥

多元函數(shù)微分學(xué)包括有若干基本概念及其聯(lián)系，多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及其應(yīng)用，梯度向量與方向?qū)?shù)的計算方法，多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用(求空間曲線的切線、法平面與空間曲面的切平面、法線)極值判斷與最值問題等，在歷年考試中多元函數(shù)微分學(xué)的平均分數(shù)約占高等數(shù)學(xué)的l／7，也是比較重要的.

本章的考題類型及知識點大致有：

   

1.求偏導(dǎo)數(shù)，全微分，方向?qū)?shù)，梯度，散度，旋度：

(1)給出具體函數(shù)關(guān)系的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)或全微分(1994  (3)考過)；

(2)給出抽象函數(shù)關(guān)系的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)或全微分(1998一(2)題，2005二(9)題，2006二(10)題，2000四題，2001四題，2007二(12)題，2006三(15)題，2009二(9)題)；

(3)給出方程經(jīng)變量變換化簡方程(1997四(2)題，1996四(2)也考過)；

(4)給出具體的方程求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或全微分(199l一(2)考過)；

(5)給出抽象的方程(方程組)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或全微分(1999三題)；

(6)求方向?qū)?shù)，梯度，散度，旋度(200l一(2)題，2005一(3)題，3.5(2002八題，2008一(2)題，1992一(2)也考過)。

2.函數(shù)在一點處極限的存在性，連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)的存在性，全微分存在性與偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性的討論與它們之間的因果關(guān)系：

(1)函數(shù)在點處極限不存在性討論(1997二(1)題)；

(2)隱函數(shù)的存在性(2005二(10)題)；

(3)偏導(dǎo)數(shù)的存在性(1997二(1)題)；

(4)全微分的存在性(200l二(2)題)；

(5)函數(shù)在一點處連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)存在性，全微分存在性與偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性的因果關(guān)系討論(2002二(1)題)。

3.曲面的切平面，曲線的切線：

(1)曲面的法向量、切平面與法線(2000一(2)題，2003一(2)題，1997四(1)題，1999八題，1993一(2)也考過，1994一(2)也考過)；

(2)曲線的切向量、切線與曲線的法平面(2001二(2)題)。

   

4.極值與最值：

(1)按定義討論極值(2003二(3)題)；

(2)極值的必要條件，駐點的討論(2006二(10)題)；

(3)求極值(含拉格朗日乘數(shù)法)與最值(2002八題，2007三(17)題，2008三(17)題，2009三(15)題)；

(4)求隱函數(shù)的極值(2004三(19)題)。

由以上可見，本章各知識點大都考過，主要是計算.考題頻率最高的是抽象函數(shù)關(guān)系的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，其次是方向?qū)?shù)，曲面的法向量與切平面(與空間解析幾何相合).關(guān)于概念(見以上“2”)方面的題，應(yīng)引起注意.關(guān)于“4”極值與最值的題，出題頻率雖然不高，但有一定的綜合性與難度，從考試結(jié)果看，這部分礙分不理想，考生不應(yīng)忽視