求解幾道關于 <級數斂散性> 的題。糾結！

廖多多

答案： 1，p<e時收斂，當p>=e時發散。
           2，收斂
           3，收斂
           4，收斂
疑問：第1題用的是比值判別法，但P=e時如何判斷呢？
          第3題積出來的一般項2*[(1/n)^1/2-arctant(1/n)^1/2],然后不知道做啊。
          第4題帶sin的完全不會啊，感覺極限也不好求

廖多多

Mengxuer 發表于 2012-7-11 20:14
非也，不是比值法，是比值法判斷級數發散的思路。極限大于1時用比值法可以推出級數發散，原因就是可以得 ...

謝謝

廖多多

Out_of_Infinity 發表于 2012-7-11 20:16
首先sin(nπ+1/lnn)=((-1)^n)sin(1/lnn)
sin(1/lnn)是一個單調遞減的正項數列，所以∑((-1)^n)sin(1/lnn) ...

恩是的，謝謝你，我之前一直不明白n>=2時sin(1/lnn)是單調遞減

Out_of_Infinity

廖多多 發表于 2012-7-11 18:42
第四題  用交錯級數萊布尼茨證單調性好像不好做，應該用絕對收斂吧 ...

首先sin(nπ+1/lnn)=((-1)^n)sin(1/lnn)
sin(1/lnn)是一個單調遞減的正項數列，所以∑((-1)^n)sin(1/lnn)收斂，不要把比值審斂法和萊布尼茲審斂法搞混了
取絕對值后有sin(1/lnn)~1/lnn，顯然是發散的，所以條件收斂

Mengxuer

廖多多 發表于 2012-7-11 18:36
謝謝
1、你用的是比值審斂法，極限lim(x→+∞) u(n+1)/un>1才時能說明級數發散。
     而且，取極限時， ...

非也，不是比值法，是比值法判斷級數發散的思路。極限大于1時用比值法可以推出級數發散，原因就是可以得到u(n+1)>un>0，所以un的極限非零，級數發散。我這里也是一樣的做法。另外，分母不是無窮小，談何替換？這時候求極限有何用處？極限為1時，比值法失效了。

廖多多

Out_of_Infinity 發表于 2012-7-11 11:30
1.
p=e可能要用到Stirling公式或者證明這個公式的部分推導

第四題  用交錯級數萊布尼茨證單調性好像不好做，應該用絕對收斂吧{:soso_e132:}

廖多多

Out_of_Infinity 發表于 2012-7-11 11:37
3.
首先從積分形式來看是正項級數，可以用極限審斂法
而2*[(1/n)^1/2-arctant((1/n)^1/2)] ~ 2/3n^(3/2)， ...

對。。。。。。。。。

廖多多

Mengxuer 發表于 2012-7-11 12:24
1、u(n+1)/un=p/(1+1/*，當p=e時，因為數列{(1+1/*}單調遞增趨向于e，所以u(n+1)/un≥1，通項極限非 ...

謝謝
1、你用的是比值審斂法，極限lim(x→+∞) u(n+1)/un>1才時能說明級數發散。
     而且，取極*，分母(1+1/*應該可以用等價無窮小直接替換啊p=e,極限結果應該還是1啊{:soso_e132:}

Out_of_Infinity

廖多多 發表于 2012-7-11 12:06
用萊布尼茨證單調性時 是用sin(1/lnn)~1/lnn嗎

不是，萊布尼茲審斂法是交錯級數的審斂法，un>0時如果un>un+1則∑((-1)^n)un收斂
而極限審斂法只適用于正項級數。當然取絕對值之后，可以用極限審斂法得出條件收斂