求高手解一道題 本人不才 兩個(gè)小時(shí)全都給它浪費(fèi)掉了

皇家粥少

此題是吉米多維奇第812題  
無意中同學(xué)問我  害得我一夜輾轉(zhuǎn)反側(cè)
最終經(jīng)過多位研友的幫助完成了一個(gè)和吉米不同的方法    完全是當(dāng)做興趣來研究了，僅供大家參看，順便看看還有沒有不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤剑?nbsp; 尤其感謝 6044340 同學(xué)糾正了我證明上的不嚴(yán)謹(jǐn)
常數(shù)函數(shù)因?yàn)樘厥庑砸脖容^簡單所以下邊不做討論

題目
h(s+t)=h(s)h(t)    函數(shù)h(x) 連續(xù)   

求證  h(x)=e*(-λt)         -λt在e的上邊




思路

一個(gè)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)在一點(diǎn)不可導(dǎo)有2種情況    （這就排除了震蕩的情況）
1，定義式極限趨于無窮 （或者左無窮或右 或都無窮）  也就是斜率無窮大
  2， 左右右導(dǎo)數(shù)存在不相等      

第一步 證單調(diào)
單調(diào)性用比值   f(x+Δx)/f(x) =f(Δx)      設(shè) Δx>0    Δx趨于0但是比0大      
設(shè)它的函數(shù)值大于f(0)=1 （f(0)=1 用賦值很容易求得）  

前項(xiàng)比后項(xiàng)就大于1 ，那么整個(gè)函數(shù)就遞增   
如果 設(shè)它小于那么 就遞減      
相等 就是常數(shù)函數(shù)
所以嚴(yán)格單調(diào)


第二步 證左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)存在
如果定義式極限趨于無窮  那么與條件不符   因?yàn)樵?點(diǎn)斜率為無窮大就是Y軸了 而且取不到f(0)=1  也不是嚴(yán)格單調(diào)的 所以得到  左右導(dǎo)數(shù)的極限存在  主要看是否相等
此處因?yàn)槭菄?yán)格單調(diào)函數(shù)所以排除了震蕩的情況



第三步 證左右導(dǎo)數(shù)相等  見圖

此圖是研友幫忙整理

用   f(x)*f(-x)=1  得到二者的替換   然后    用定義考慮在0左右的 導(dǎo)數(shù)情況   最后能導(dǎo)出2者不管符號還是趨近程度相等 （因?yàn)閷?dǎo)出是同一個(gè)式子）  中間要用到函數(shù)連續(xù)的條件


然后解微分方程 最后求得答案

    如果大家有好的方法跟我分享下  或者我的證明有錯(cuò)誤

皇家粥少

06443420 發(fā)表于 2011-8-13 17:21
同時(shí)，震蕩的時(shí)候，左導(dǎo)和右導(dǎo)的極限表達(dá)式可以是相同的，但并不意味著它們就相等，可以是同時(shí)不存在的， ...

汗 敗給你了 哈哈    是我不嚴(yán)謹(jǐn)  應(yīng)該改成   一個(gè)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)  這種情況用我的條件 你看對么？ 應(yīng)該把那個(gè)就排除了吧   
恩恩 倆個(gè)無窮小之比確實(shí)可以是震蕩型     

高數(shù)課本上回避這個(gè)沒說     這種無窮小的關(guān)系應(yīng)該叫 不可比型吧。。。。。。

06443420

06443420 發(fā)表于 2011-8-13 17:14
我想指出的正是這句話不對導(dǎo)數(shù)定義其實(shí)就是兩個(gè)無窮小的比    兩個(gè)無窮小之比要么為0 要么為無窮要么 為 ...

同時(shí)，震蕩的時(shí)候，左導(dǎo)和右導(dǎo)的極限表達(dá)式可以是相同的，但并不意味著它們就相等，可以是同時(shí)不存在的，呵呵，我承認(rèn)我也執(zhí)著了，這帖子都成了我們的聊天QQ了

06443420

皇家粥少 發(fā)表于 2011-8-13 13:38
具體的 我剛才給你發(fā)了     你回頭看看我說的         咱倆的問題應(yīng)該就是在分母不存在那點(diǎn)上

我想指出的正是這句話不對導(dǎo)數(shù)定義其實(shí)就是兩個(gè)無窮小的比    兩個(gè)無窮小之比要么為0 要么為無窮要么 為常數(shù)，這句話忽略了兩個(gè)無窮小之比還可以是震蕩的，既不是無窮大，也不是常數(shù)，你排除了無窮這種情況就推論它左右導(dǎo)數(shù)必定存在，明顯有問題的吧，剛才有事出去了，回復(fù)得比較遲

皇家粥少

06443420 發(fā)表于 2011-8-13 12:26
點(diǎn)評的字?jǐn)?shù)原來有限制。。。。。我舉的函數(shù)你是很容易找到破綻的，因?yàn)轭}目要的函數(shù)是唯一的，我只是拋給 ...

具體的 我剛才給你發(fā)了     你回頭看看我說的         咱倆的問題應(yīng)該就是在分母不存在那點(diǎn)上


導(dǎo)數(shù)定義其實(shí)就是兩個(gè)無窮小的比    兩個(gè)無窮小之比要么為0 要么為無窮要么 為常數(shù)

為0，常數(shù)都是存在導(dǎo)數(shù)的范疇    我用單調(diào)或者用f(0)這點(diǎn)的值能說明導(dǎo)數(shù)不能是無窮大     那么就證明左右導(dǎo)數(shù)必存在

然后再證的相等  其實(shí) 就已經(jīng)把你考慮的那種情況排除掉了   不知道你按這個(gè)思路走有沒有理解

06443420

06443420 發(fā)表于 2011-8-13 11:15
響應(yīng)房主號召，我第一次上傳圖片，先讓房主確認(rèn)一下是不是他的原意先，其中紅字部分是我覺得不對的地方 ...

點(diǎn)評的字?jǐn)?shù)原來有限制。。。。。我舉的函數(shù)你是很容易找到破綻的，因?yàn)轭}目要的函數(shù)是唯一的，我只是拋給你這樣的問題，你能證明x=0處左右導(dǎo)數(shù)式子相同但皆不存在的函數(shù)不能單調(diào)遞增嗎？形象點(diǎn)可以想象把我舉例的函數(shù)45度傾斜，當(dāng)然了，這個(gè)都不是單調(diào)遞增，舉例而已。你能證明x=0處左右導(dǎo)數(shù)不存在的函數(shù)，在x=0時(shí)，不能=1嗎？把舉例的函數(shù)向上平移1個(gè)單位已經(jīng)可以了。我其實(shí)只是想說明你的證明并不嚴(yán)謹(jǐn)，要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑捒峙抡n本里的知識沒辦法做到，當(dāng)然，我也是希望真有課本知識就夠的方法才討論那么久的。。。。。

06443420

皇家粥少 發(fā)表于 2011-8-13 10:49
你感興趣的話，最好把他研究出完整的步驟吧  和大家分享下  我這打符號太糾結(jié)  加上打字也不怎么快 想傳 ...

響應(yīng)房主號召，我第一次上傳圖片，先讓房主確認(rèn)一下是不是他的原意先，其中紅字部分是我覺得不對的地方。式子進(jìn)行了簡化的處理，并不標(biāo)準(zhǔn)，dx表示x趨于0，右上角有符號的表示不同方向趨于0， 式子相等，故相等，這個(gè)比較低級的語法錯(cuò)誤，大家請忽略

皇家粥少

06443420 發(fā)表于 2011-8-13 10:33
對，那個(gè)微分的確好簡單，昨晚我說明白為什么0可導(dǎo)則整個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí)就看到那個(gè)式子了，但今天早上又傻了， ...

你感興趣的話，最好把他研究出完整的步驟吧  和大家分享下  我這打符號太糾結(jié)  加上打字也不怎么快 想傳個(gè)圖片還失敗了， 有時(shí)候打字又表達(dá)不清  。。。。。。。。。。。。。嗚嗚

06443420

對，那個(gè)微分的確好簡單，昨晚我說明白為什么0可導(dǎo)則整個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí)就看到那個(gè)式子了，但今天早上又傻了，麻煩你啦，不好意思{:soso_e113:}