【考研幫干貨】中值定理的應(yīng)用及輔助函數(shù)的構(gòu)造方法

考研論壇 · 發(fā)表于 2014-11-11 12:05

有關(guān)中值定理的證明問題是歷年出題的一個(gè)熱點(diǎn)，將中值定理和介值定理或積分中值定理結(jié)合命題是比較常見的命題形式。首先復(fù)習(xí)一下各大定理：

1、介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，那么對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ使得f(ξ)=C(a < ξ < b).

Ps:c是介于A、B之間的，結(jié)論中的ξ取開區(qū)間。

介值定理的推論：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上有最大值M，最小值m,若m≤C≤M,則必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C。

2、零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(hào)，即f(a).f(b) < 0,那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使得f(ξ)=0.

Ps:注意條件是閉區(qū)間連續(xù)，端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，結(jié)論是開區(qū)間存在點(diǎn)使函數(shù)值為0.

3、羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足：

（1）、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

（3）、在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值相等，即f(a)=f(b).

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a < ξ < b),使得f`(x)=0;

PS：在用羅爾定理時(shí)，關(guān)鍵是找出輔助函數(shù)，且結(jié)論成立前提為開區(qū)間內(nèi)取值

4、拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足：

（1）、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a < ξ < b),使得f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).

5、柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)及g(x)滿足

（1）、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

（3）、對(duì)任一x(a < x < b),g`(x)≠0,

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f`(ξ)/g`(ξ)

Ps：拉格朗日中值定理、柯西中值定理結(jié)論都是開開區(qū)間內(nèi)取值。

題設(shè)或證明結(jié)論中含有一般的a,b,f(a),f(b)時(shí)，經(jīng)常可考慮直接用拉格朗日中值定理或利用柯西中值定理證明。

對(duì)于“存在兩個(gè)點(diǎn)”的問題，一般先用一次拉格朗日中值定理（或柯西中值定理），然后再用一次柯西中值定理（或拉格朗日中值定理）。

6、積分中值定理：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)ξ(a≤ξ≤b)使

Ps：該定理課本中給的結(jié)論是在閉區(qū)間上成立，如果想在開區(qū)間內(nèi)使用，我們便構(gòu)造該函數(shù)，運(yùn)用拉格朗日中值定理來證明下使其在開區(qū)間內(nèi)成立即可。千萬不可直接運(yùn)用。

通過上面對(duì)各個(gè)定理的簡(jiǎn)單介紹，可以看出“恰當(dāng)構(gòu)造輔助函數(shù)”成為靈活運(yùn)用中值定理的關(guān)鍵。下面將介紹幾種常見的輔助函數(shù)構(gòu)造方法：

   1、原函數(shù)法：先將ξ化為x，然后將式子恒等變形以便于積分，按照常微分方程求解后，所得式子F(x,f(x))=C,則F(x,f(x))即為所需的輔助函數(shù)。
   2、常數(shù)比值法：它適用于常數(shù)已分離的命題。
   3、觀察要證明的結(jié)論形式，如果與以下等式的右邊式子較為類似，則往往可以直接寫出輔助函數(shù)：

【本文核心內(nèi)容由考研幫特邀約稿人劉妍老師供稿】
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