本帖最后由 淺落。 于 2014-1-8 19:07 編輯
我是13年參加考研的，考的數一133分，算不上高分了但我對考研數學一直保持著濃厚的興趣。目前在一家輔導機構兼職考研專業課老師，給幾位14考研的學員上專業課，這幾天一直聽幾位學員說今年數一很難，考的不好。帶著好奇心我就把今年的考題看了一遍，由于我13年考研時復習數學的時間比較長，所以盡管隔了將近一年的時間，大部分知識點我還是記得比較清楚。 看完整篇試卷之后，說實話，我覺得今年的試卷不算難，如果平時把重要知識點都復習的比較透徹的話，考120以上絕對不是難事。但要想考140以上可能不太容易，因為有個別題目比如說數列的那道證明題不太好做。 我以前考研的時候經常會給同學講題目，我講題目的時候喜歡從題目的本質出發，把整個題目的邏輯都會給同學理清楚，同學聽完后的反應貌似都還不錯。下面我大概分析一下整張試卷吧，個人拙見，希望我的講解能夠給15年考研的同學帶來幫助。 首先來看高數。 選擇題部分：第一題考的是函數的漸近線。這一題我想大家基本上都能做對，因為漸近線這個概念比較簡單，主要就是求出在x→∞或者是x趨向于非定義點時曲線的斜率k和截距b，所以這道題的本質就是讓我們求極限。由于在x=0處f(x)無定義且顯然是無限震蕩的（函數sinx在x→∞處是無限震蕩的在高數課本中第一章就有提到），所以很快能判斷出是在x→∞處求漸近線。 第二題出的比較好，如果有同學不會做的話就是沒有對g（x）的右邊進行整理，從而沒能看出來這個題目究竟是在考什么。首先要把g（x）寫成g（x）=f（0）+[f（1）-f（0）]x，從而就能看出g（x）表示的是經過（0，f（0））和（1，f（1））的一條直線。因此這道題目的本質就是考察凹凸函數的性質，接下來我們就可以在草稿紙上畫一下區間[0,1]的凹凸函數，稍加比較就會發現當f’’(x) ≥0時，g（x）≥f（x），反之亦成立。 第三道題考查的是二重積分區間的畫法，這題也不難，只要先畫出先y后x型，再求出先x后y型就行。在這里對x是左右分開積分的，而且值得一說的是由于這題是選擇題，所以大可以先觀察答案再做選擇，有左半部分知上限是1-x，所以很容易排除AB，再看CD即便不知道右半部分用極坐標怎么寫區間的話，也能看出C明顯錯誤從而選D。事實上右半部分用極坐標來表示的話還真有點小技巧，對幾何要求比較高。 第四題可能對很多人來說算是難題，我感覺本質原因是大家沒弄懂這個題目中a，b到底處于什么樣一個地位。大家注意整個式子是對于x函數的一個積分。只不過積分函數中包含x和a，b，所以積分以后x沒有了而a，b依然還在，也就是說這個式子實際上是關于a，b的一個函數f（a，b）。題目中問a，b取何值時f（a，b）取得極小值，也就是要對a，b分別求偏導，再令f對a和b的偏導分別為0即可。后面的求積分結果f（a，b）也要注意，積分項中有奇偶函數，且是對稱區間，所以求積分時注意簡化。 填空題部分：填空題第九題考查的是切平面方程。這題也算是一道基本題了，概念比較簡單，而且平時復習時很多復習資料中有很多這樣的題型，平時只要多練習就可掌握，所以我想大家基本上都能做對。 填空題第十題我覺得主要考察的時奇函數和周期函數的性質。奇函數和周期函數我們在高中時就已接觸，所以這題也不算難題。首先對f’(x)進行積分并利用（x）=0求出f（x），然后求f（7）時我們自然想到利用周期函數的性質先求出f（-1），再利用奇函數的性質發現只要求出f（1）即可。 填空題11題主要目的考察的是求解微分方程。微分方程的解法一直都是大家復習的重點，只不過大家平時可能偏重于變量分離和常微分方程的求法。本題在求解時要先對方程兩邊同除x，然后令u=y/x即可求解。這類解法雖然用的比較少但是我記得李永樂復習全書上面有講過，所以平時只要認真復習考場上也是能寫出的。 填空題第12題考察的是斯托克斯公式。這塊知識我實在是記不清楚了，但我記得11年的填空題考過這樣一個典型的例子，而且復習全書上也有很多斯托克斯公式的練習題，所以如果有好好研究真題的話這題應該不難（我猜的，如果難的話請大家指正。。。。） 大題目部分：大題第15題考查的是求極限部分的知識（加上選擇題的第一題，今年極限考到的分值還是不少的，所以高數第一章極限依然是復習的重要部分）。平常我們在求極限時經常會用到一些等價無窮小，如：ln（1+x）~ x，e?x~ 1+x，sinx~ x+1/6x?3等等，而且這些等價無窮小也很好用，基本上大部分題目都能夠用他們解決。從本質上來講，這些等價無窮小都是在泰勒公式的基礎上得到的，所以求解極限的真正解法應該是從泰勒公式出發，當你解題時發現你能記得的等價無窮小都不好用時，不妨試著從泰勒公式出發，最后一定能得出結果的。本題就是這樣的一道題目，常規的等價無窮小不好做，但是只要我們將分子中的e的1/t次方展開成泰勒公式，再將分母中的ln（1+x）展開成泰勒公式，然后在使用洛必達法則，很快就能得出0.5來。當然要想熟練使用泰勒公式平時一定要記住一些常用的公式，比如sinx，tanx，ln（1+x），e?x等重要的泰勒展開式。我記得我以前的數學筆記上都記了這些公式，并且到后來我都是能熟練寫出來的。 大題16題考察的是隱函數的求導。這題也算是一道基本題了，平常復習時想必大家都練習過。只不過這里有些細節要注意下，當f’ (x)=0時f（x）不一定取最小值（這一點在復習資料的選擇題中經常能遇到，所以說不論是做小題還是大題時，能從題目中提取出所包含的的知識點永遠都是最重要的）。這題只要稍加計算并注意判斷f’’是否為0即可，所以這題并不難的。 大題17題考查的是多元函數求偏導以及微分方程的求法。這兩塊知識點結合在一起考在真題中已經不止出現過一兩次了，再加上多元函數求偏導也一直都是大家重點復習的內容，所以這道題也不算是難題。在這道題中首先令u=e?xcosy，則z=f（u），然后再分別對z求x和y的二階導即可。最后歸結為求微分方程，注意題目給的初始條件，微分方程中的參數也都能求出。 大題18題考查的是高斯公式。基本上每年大題目中有一道不是考高斯公式就是考格林公式，所以我相信高斯公式歷年來都是大家復習的重點。今年的這題考的中規中矩，只要寫出高斯公式再求出積分即可，所以這也算是道基本題。高斯公式中的方向，以及三重積分的求法一定要掌握好。我記得以前經常聽同學跟我說三重積分好復雜，好難求，其實我想說三重積分看起來復雜事實上一點都不難求。建議大家在學三重積分前一定要把高數課本中的原理部分好好看看，理解三重積分的本之后我相信大家就不會覺得難求了。 大題19 題考查的是數列的證明。第一小問是證明數列a n的極限為0 ，這一小問稍微好證一點，把cosa n-a n=b n寫成a n=cosa n-cosbn，由于0<a n<∏/2,所以cosa n-cosbn>0, 故a n<b n,故a n收斂。第二小題說實話我也不會證，如果是我在考場上的話估計我也會放棄這小題。這題一共是十分，如果能做出第一小題的話能得4 分左右的，所以就算第二小題不會做損失也不是很慘重。 總的來說高數這塊考察基本上都是平時復習時的重點內容，并沒有考的很偏，而且難題占得比例很小，所以如果平時復習的扎實的話，高數這塊拿高分并不是難事的。 （ps：高數這塊我好像寫的有點多，先發這么多內容吧，有空我會再補一下線代和概率部分的）
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發表于 2014-1-8 17:41
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