請教一道題目，在線等。

紛繁的世界 · 發(fā)表于 2012-10-13 23:20

A為n階實(shí)對稱矩陣，且A的行列式<0，證明：存在n維列向量X,使得XT A X<0 其中T是轉(zhuǎn)置。

紛繁的世界 · 發(fā)表于 2012-10-13 23:36

木有人會嗎？？

無與示單 · 發(fā)表于 2012-10-13 23:38

不是很明顯么。。。這不是二次型里面的題么

紛繁的世界 · 發(fā)表于 2012-10-13 23:39

無與示單發(fā)表于 2012-10-13 23:38
不是很明顯么。。。這不是二次型里面的題么

是今天別人給的一道題目，能給個(gè)過程嗎？

Cicida · 發(fā)表于 2012-10-13 23:44

A為實(shí)對稱陣，則必能相似對角化，則PT AP=一個(gè)對角陣，設(shè)為Q，因?yàn)閨A|<0，則Q主對角線元素必存在負(fù)數(shù)，設(shè)a1<0，令X=P(1,0,0,...,0)T，代入既得XT AX<0，可知，必存在n維列向量X，使得XT A X<0

無與示單 · 發(fā)表于 2012-10-13 23:46

用反證法，設(shè)后面的大于等于0,0的情況可以直接排除，因?yàn)槟菢铀刑卣髦禐?與|A|<0不符，大于0的情況，表示是一個(gè)正定二次型，正定二次型必有所有特征值大于0于題設(shè)不符，所以必有x使小于0

無與示單 · 發(fā)表于 2012-10-13 23:52

Cicida 發(fā)表于 2012-10-13 23:44
A為實(shí)對稱陣，則必能相似對角化，則PT AP=一個(gè)對角陣，設(shè)為Q，因?yàn)閨A|

這個(gè)是二次型、、、、親用的方法好奇怪、、、、怎么會扯到相似矩陣、、、

Out_of_Infinity · 發(fā)表于 2012-10-14 00:04

A是對稱矩陣，存在正交矩陣Q令Q'AQ=∧，不妨設(shè)∧對角線上第m個(gè)元素λ為負(fù)數(shù)。
令y'=(0,...0,1,0,...0)，其中y'第m個(gè)元素為1，其余元素為0，顯然y'∧y=λ<0
即(Qy)'A(Qy)<0，令x=Qy得證

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