本帖最后由 戰地黃花 于 2012-10-10 23:36 編輯
非數學專業的本科學生大多沒有概念意識，記不住概念。更不會從概念出發分析解決問題。 基礎層次的概念不熟，下一層次就云里霧里了。這是感到數學難學的關鍵。 數學概念第一是定義。定義是最基本的游戲規則，定義是數學邏輯的起點，定義是數學推理的依據。 深刻的概念意識會給我們帶來思維能動性。 1。《線性代數》中最為典型的范例 —— 《線性代數》的前置概念是“方程（組）的解（根）”。 “如果把一個數（或向量）代入方程（組），方程（組）就化為恒等式，則這個數（或向量）就是方程（組）的解（或解向量）。” 這是初等數學的內容。 很多學生在《線性代數》中學到， “齊次線性方程組AX = 0的兩個解向量的和，乃至任意有限個解的線性組合，仍然是它的解。” “非齊次線性方程組AX = b的兩個解向量的和，通常就不會再是它的解。” 往往根本沒有“把和向量（或線性組合）代入方程組驗證”的下意識沖動。他們只有眼前的兩行中文字。 歷史的“概念意識欠債”使這些學生學習《線性代數》嚴重地先天不足。 （潛臺詞：“你也許就是這樣的。”） 上述下意識沖動就是“概念意識” 帶來的思維能動性。概念意識越深，這種思維能動性越強。 “方程（組）的解（根）”概念意識深刻，你進一步可以有如下之類反應： 看到恒等式（A-λE）α= 0 時，就能聯想到，“向量α是齊次線性方程組（A-λE）X = 0 的非零解”。 然后，你自然會想到“齊次線性方程組有非零解的充要條件”，……，邏輯推理自然而然，水到渠成。 …………………………………… 2。“方程的解”概念應用在《高等數學》 在《高等數學》微分方程部份，同樣有類似問題。這里有前后三次重要運算，都運用了微分方程解函數概念。形成一個常用技術—— “運用已知微分方程作約束條件的待定系數法” 計算1 ——常數變易法 已知一階線性微分方程 y′+ p（x）= q（x）, 相應的齊次方程 y′+ p（x）= 0的一個非0特解y（x），再求其自身的一個特解 y*（x） 設 y*（x）= C（x）y（x） ，帶入原方程得恒等式，再利用“y（x）是相應的齊次方程的解”，就產生關于C（x）的最簡微分方程。 （潛臺詞：反復應用“方程的解概念”。） 計算2 ——求二階常系數齊次線性微分方程的基礎解系 二階常系數齊次線性微分方程 y″+ p y′+ q y = 0 的基礎解系，由兩個線性無關解（即兩個解函數的商不是常數）組成。 猜指數函數 y = exp（λ x） 是解 ，帶入原方程，消去指數函數，得到“特征方程”—— 未知量λ的一元二次方程 λ2 + p λ + q = 0 兩個不相等的根，相應得到兩個線性無關的指數函數解。組成基礎解系。 如果特征方程恰有二重根λ ，只能相應產生一個解函數 exp（λ x） ，則可設另一個解函數為 y = u（x）exp（λ x） 應用“方程的解概念”，帶入原方程，消去指數函數，就得未知函數 u（x）所滿足的微分方程。且實質上是個可降為一階的微分方程。 （潛臺詞：與常數變易法一個形式，同樣道理。） 由此還產生了一類可作為考研“坡度題”的微分方程題目 —— “設有二階變系數齊次線性微分方程 y″+ p（x） y′+ q （x）y = 0 ，已知它有一個非零的解函數 y = u（x），求它的通解。” 實際上，只需再求一個與 y = u（x）線性無關的解函數。兩個解函數組成基礎解系。 與上述問題一樣，設之為 y = v (x) u(x) 應用“方程的解概念”，帶入原方程，必定得未知函數 v（x）所滿足的微分方程。且實質上是個可降為一階的微分方程。 計算3 ——求二階常系數線性微分方程 y″+ p y′+ q y = f（x）的特解 最基本最常用的是，f（x）= n次多項式P（x）?exp（λ x） 令微分方程有特解 y*（x）= m次多項式 Q（x）?exp（λ x） （潛臺詞：與計算2中所設的解函數類似。） 帶入原方程，消去指數函數，轉換為兩個多項式恒等，即 Q″(x) + (2 λ + p ) Q′(x) + (λ2 + p λ + q) Q（x）= P（x） 多項式恒等，各次冪相應系數相等得方程。 λ2 + p λ + q ≠ 0，即 λ 不是特征根時，取次數m = n，記為Q n（x），共有n+1個待定系數，恰好n+1個方程。 λ 是單特征根時，取 y*（x）= x Q n（x）?exp（λ x），仍然是n+1個待定系數，恰好n+1個方程。 λ 是二重特征根時，取 y*（x）= x2Q n（x）?exp（λ x）
熟悉三個計算，掌握了新技術，線性微分方程再無難。 如果不熟習“方程的解概念”， 如果只會背“一階線性微分方程通解公式”，熱衷于歷史沉渣“算子法”，那就一點不入門。遇上“擦邊題”束手無策。 | 
發表于 2012-10-9 22:31
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