請教大神數二復習全書關于旋轉體的側面積

人生才開始 · 發表于 2012-9-19 15:39

這個旋轉體的側面積公式到底是怎么弄出來的求講解謝謝

強迫性行為 · 發表于 2012-9-19 16:23

這個式子下面的第四個式子將x=x(t),y=y(t)代入的結果

lz0905054144 · 發表于 2012-9-19 17:16

首先你取個dx,在這個dx內這個半徑是y也就是f(t),側面積就類似于圓柱體求側面積一樣，是周長乘以高，只是圓柱體的高是條直線，這里周長是2πy,高呢就是這里的弧長了

jl2925 · 發表于 2012-9-19 17:18

這個式子下面的第四個式子將

人生才開始 · 發表于 2012-9-19 18:54

lz0905054144 發表于 2012-9-19 17:16
首先你取個dx,在這個dx內這個半徑是y也就是f(t),側面積就類似于圓柱體求側面積一樣，是周長乘以高，只是圓 ...

高為什么不是dx？

lil1 · 發表于 2012-9-19 22:06

高是弧長。。。你把弧長拉直了就相當于直的高不是~

人生才開始 · 發表于 2012-9-19 22:42

lil1 發表于 2012-9-19 22:06
高是弧長。。。你把弧長拉直了就相當于直的高不是~

不知為什么。。總是想不通。。。先記著。。

kk130130 · 發表于 2012-9-21 16:50

以下是我的理解，希望對你有幫助。
關于選擇側面積，我覺得應該回歸到最初的定義（幾何意義）來理解：以繞x軸旋轉為例（積分符號不好弄，我以漢字"定積分"來代替“定積分的數學符號”）
即 F=定積分 2πy(s)ds 他的幾何意義是：在弧長s的參數方程 x=x(s) y=y(s)里，在s點處的微面積dF 等于以y=y(s)值為半徑繞x軸旋轉一周的
周長2πy(s) 乘以微弧長元ds 所以 dF=2πy(s)ds
這個是理解的基礎，有了這個概念后，后面的幾中坐標系下的公式都是這個公式的展開。

現在以t為參數，在直角坐標系下有參數方程 x=x(t) y=y(t) 為例，就是你上面提出的問題啦。
這是 dF=2πy(t)ds （一定記住，在任何坐標系里，是弧微分ds是不變的，只是半徑y在不同坐標系里的表達不同而已，所以y(s)換為y(t)，然后將弧微分ds用參數方程和dt表示即可）
這里的弧微分ds=根號下那一串dt
所以得公式：F=定積分 2πy(t) 根號下那一串dt，就是你圖片里那公式了。

極坐標也是類似的。只需把 y(s)換為r(@)sin@，ds換為極坐標下的參數表達式d@即可，你試試看能推導出公式不嘛。

所以只要記住基本定義和幾何意義，公式一下就退出來了，并不用死記得。

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