原函數必須連續嗎？

慕容小花、 · 發表于 2012-7-26 01:17

別吵了別吵了，我說幾句。1.如果某函數在某區間連續，則在這個區間一定存在原函數。

2.如果某函數在某區間存在第一類間斷點，則在這個區間一定不存在原函數。
3.如果某函數在某區間存在第二類間斷點，另需考察。

shtan · 發表于 2012-7-26 10:46

天山飛客發表于 2012-7-26 00:19
樓上說的應該是分段函數吧

可以再詳細一點撒？
還是想不出來這個怎么分段的

1/4圓和直線在什么位置連起來的？

是像這樣子么：

Scorpioの棄 · 發表于 2012-7-26 11:49

拿區間說話就行

慕容小花、 · 發表于 2012-7-26 12:11

補充上面的回答。給你嚴格證明一下，導函數不可能含有第一類間斷點，換一種說法就是存在第一類間斷點一定不存在原函數。

設f(x)在(a,b)可導，x0是屬于(a,b)的f '(x)的間斷點。

反證法：
假設x0=c把區間分為(a,c)和(b,c)兩部分
1. 如果lim(x→c+0) f' (x)=A+ ，lim(x→c-0) f' (x)=A-都存在，則f '(c+0)=A+，f '(c-0)=A-。（如果f '(x)在邊界點的極限存在，那么f' (x)在邊界點的右導數=邊界點導數的右極限）又因為f '(x)在（a,b）可導，得出f '(c)存在。
2. f '(c+0)=f '(c-0)=f '(c)（某點可導，則左導數=右導數）==>lim(x→c+0)f '(x)=lim(x→c-0)f '(x)=f '(c)(表示f'(x)在x=c處連續)
3. 2中的結論與c屬于間斷點矛盾，所以lim(x→c+0)f '(x)與lim(x→c-0)f '(x)至少有一個不存在，即間斷點不屬于第一類間斷點。

失落@游魚 · 發表于 2012-7-26 12:19

C:\Users\jisong\Desktop

shtan · 發表于 2012-7-26 19:54

本帖最后由 shtan 于 2012-7-26 20:19 編輯

shtan · 發表于 2012-7-26 20:20

本帖最后由 shtan 于 2012-7-26 20:34 編輯

你說的全書上都有，沒意思
我本來好奇8樓的說的函數是什么，他想表達什么意思
現在我最好奇15樓的空白帖子是怎么打出來的，NB
像我這樣顯然水平太次。

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原函數必須連續嗎？

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