原函數(shù)必須連續(xù)嗎？

慕容小花、 · 發(fā)表于 2012-7-26 01:17

別吵了別吵了，我說幾句。1.如果某函數(shù)在某區(qū)間連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間一定存在原函數(shù)。

2.如果某函數(shù)在某區(qū)間存在第一類間斷點(diǎn)，則在這個(gè)區(qū)間一定不存在原函數(shù)。
3.如果某函數(shù)在某區(qū)間存在第二類間斷點(diǎn)，另需考察。

shtan · 發(fā)表于 2012-7-26 10:46

天山飛客發(fā)表于 2012-7-26 00:19
樓上說的應(yīng)該是分段函數(shù)吧

可以再詳細(xì)一點(diǎn)撒？
還是想不出來這個(gè)怎么分段的

1/4圓和直線在什么位置連起來的？

是像這樣子么：

Scorpioの棄 · 發(fā)表于 2012-7-26 11:49

拿區(qū)間說話就行

慕容小花、 · 發(fā)表于 2012-7-26 12:11

補(bǔ)充上面的回答。給你嚴(yán)格證明一下，導(dǎo)函數(shù)不可能含有第一類間斷點(diǎn)，換一種說法就是存在第一類間斷點(diǎn)一定不存在原函數(shù)。

設(shè)f(x)在(a,b)可導(dǎo)，x0是屬于(a,b)的f '(x)的間斷點(diǎn)。

反證法：
假設(shè)x0=c把區(qū)間分為(a,c)和(b,c)兩部分
1. 如果lim(x→c+0) f' (x)=A+ ，lim(x→c-0) f' (x)=A-都存在，則f '(c+0)=A+，f '(c-0)=A-。（如果f '(x)在邊界點(diǎn)的極限存在，那么f' (x)在邊界點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)=邊界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的右極限）又因?yàn)閒 '(x)在（a,b）可導(dǎo)，得出f '(c)存在。
2. f '(c+0)=f '(c-0)=f '(c)（某點(diǎn)可導(dǎo)，則左導(dǎo)數(shù)=右導(dǎo)數(shù)）==>lim(x→c+0)f '(x)=lim(x→c-0)f '(x)=f '(c)(表示f'(x)在x=c處連續(xù))
3. 2中的結(jié)論與c屬于間斷點(diǎn)矛盾，所以lim(x→c+0)f '(x)與lim(x→c-0)f '(x)至少有一個(gè)不存在，即間斷點(diǎn)不屬于第一類間斷點(diǎn)。

失落@游魚 · 發(fā)表于 2012-7-26 12:19

C:\Users\jisong\Desktop

shtan · 發(fā)表于 2012-7-26 19:54

本帖最后由 shtan 于 2012-7-26 20:19 編輯

shtan · 發(fā)表于 2012-7-26 20:20

本帖最后由 shtan 于 2012-7-26 20:34 編輯

你說的全書上都有，沒意思
我本來好奇8樓的說的函數(shù)是什么，他想表達(dá)什么意思
現(xiàn)在我最好奇15樓的空白帖子是怎么打出來的，NB
像我這樣顯然水平太次。

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原函數(shù)必須連續(xù)嗎？

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