本帖最后由 戰(zhàn)地黃花 于 2012-6-25 10:01 編輯
一元微積分學的基本內(nèi)容，是“用導數(shù)研究函數(shù)，研究函數(shù)以討論積分。”討論連續(xù)函數(shù)的符號，是基本內(nèi)容的一條主線。 1。符號討論主線 定理（1） “保號”定理 —— 若自變量x→∞ 時，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)有正的極限A ，即∣x∣增大時函數(shù)值f(x)無限接近正數(shù)A ，則當∣x∣充分大時 ，恒有f(x) > 0 ——若自變量x→x0 時，相應(yīng)的函數(shù)值f(x) 有正的極限A ，則當x充分靠近x0時，即在x0 的一個適當小的去心鄰域內(nèi)，恒有f(x) > 0 （ 潛臺詞：近朱者赤，近墨者黑。如此而已。）
典型應(yīng)用1 —— 連續(xù)函數(shù)一點大于0 ，則一段大于0 邏輯發(fā)展典型 —— f(x) 在區(qū)間（a ，b）上連續(xù)非負。則f(x) 在（a ，b）上積分為0的充要條件為f(x) 在（a ，b）上恒為0 （潛臺詞：如果需要，可以補充定義端點值為極限值。） 典型應(yīng)用2 —— 一點可導且導數(shù)大于（或小于）0的推理 設(shè)函數(shù) f (x) 在點x0 可導，且 f′(x0) > 0 ，則 → f (x) 在點x0 可導 → f (x) 在點x0連續(xù) → f (x) 在點x0的某鄰域內(nèi)有定義
將 f′(x0) > 0 還原成定義式 ， 即 Δx → 0時，l i m（Δy /Δx）> 0 →（體驗符號，近朱者赤。）在x 0的某去心鄰域內(nèi)，增量商恒正 ，分子分母同號。 → 分母Δx在x 0左側(cè)為負，右側(cè)為正，分子Δy也只能左側(cè)為負，右側(cè)為正。 → 在x 0左側(cè)鄰近，恒有f (x) < f（x 0），而在右側(cè)鄰近，恒有 f (x)> f（x 0） （潛臺詞：我們并不知道各函數(shù)值之間誰大誰小。不能與單調(diào)性相混。） → f（x 0）不是函數(shù)的極值，更不會是函數(shù)的最值。 （畫外音：這下你就懂了，“已知一點導數(shù)大于0”與“已知一個區(qū)間內(nèi)導數(shù)大于0”的差別。 有人問，你能舉出一個點孤立可導的函數(shù)例嗎？那是另外一個問題了。有點鉆牛角尖。） 2。符號討論主線 定理（2）連續(xù)函數(shù)介值定理推論 —— 連續(xù)函數(shù)取正取負必取零。 （潛臺詞：討論方程 F(x) = 0 的根，總可以轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)F(x)的零點。） 邏輯發(fā)展 —— —— 沒有零點的連續(xù)函數(shù)定號。只有一個零點的連續(xù)函數(shù)定號或分兩段定號。 （潛臺詞：簡單的反證法邏輯。） —— 連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個零點間不變號。 —— 在連續(xù)區(qū)間（a ，b）內(nèi)，函數(shù)圖形被其零點分成了恒正或恒負的若干段。 （潛臺詞：各段究竟恒正還是恒負，選個特殊點算算。） 邏輯發(fā)展典型 —— 若函數(shù) f(x) ，g(x ) 都在區(qū)間（a ，b）上連續(xù)，則函數(shù) y = man（f（x），g(x )）也在（a ，b）上連續(xù)。 （畫外音：作差函數(shù) F = f（x）– g(x ) ，則F連續(xù)。F在相鄰的兩個零點間不變號。 函數(shù)y = man（f（x），g(x )）在這一段要么為f（x），要么為g（x），當然連續(xù)。 只需任選一個等值點（F的零點），證明y = man（f（x），g(x )）連續(xù)。） 邏輯發(fā)展典型 ——（費爾瑪引理） 若f(x) 在區(qū)間（a ，b）上可導，且在（a ，b）內(nèi)一點x0取得最大值或最小值。則必有 f′(x0) = 0 （畫外音： f(x) 在點x0可導的充要條件為 左導數(shù) = 右導數(shù) 。 寫出定義，利用最值討論左導數(shù) = 右導數(shù)符號。邏輯推理判 定 f′(x0) = 0 ） 邏輯綜合發(fā)展典型 ——（達布定理）若f(x) 在區(qū)間（a ，b）上可導，則其導函數(shù)自然滿足連續(xù)函數(shù)介值定理。 （潛臺詞：導函數(shù)不一定連續(xù)。） 3。典型（連續(xù)）不可導的成因分析 從圖形上看連續(xù)函數(shù)取絕對值 —— 連續(xù)函數(shù)f (x) 在相鄰的兩個零點之間不變號。 如果恒正，每一個正數(shù)的絕對值就是自已。在這兩個零點間，函數(shù) y =∣f (x)∣與 f (x) 的圖形相同。 如果恒負，每一個負數(shù)的絕對值都是它的相反數(shù)。在這兩個零點間，f (x) 的圖形由x軸下面對稱地反射到了x軸上方。成為 y =∣f (x)∣的圖形。 如果 f (x) 可導，則稱曲線 y = f (x) 光滑。從前述圖形關(guān)系可以看出，在f(x) 恒為正或恒為負的區(qū)間內(nèi)，曲線y = | f (x) | 和曲線y = f(x) 的光滑性是一致的。 符號討論主線結(jié)論（3）——只有在f(x) 的零點處，才可能出現(xiàn)曲線y = f(x) 光滑，而曲線y = | f(x) | 不光滑的狀況。 y = sin x 在原點為0，在原點的左側(cè)鄰近為負，右側(cè)鄰近為正。 讓它的圖形在原點右側(cè)段不變，而將左側(cè)段對稱地反射到上半平面，就是y = | sin x | 的圖形。反射使得曲線 y = | sin x | 圖形在原點處形成一個尖角，不光滑了。 （潛臺詞：從幾何上看，曲線y = sin x的切線被分成左，右兩射線，形成一個角。） 同理 y = | lnx| 在點x = 1不可導。 這是否是一個普遍規(guī)律？不是！必須是單零點才行。比如y = x3 與 y = | x3 | 在x = 0 點都可導。 函數(shù) y = x3 的圖形叫“立方拋物線”。在點x = 0，函數(shù)導數(shù)為0，圖形有水平的切線橫穿而過。
4。符號討論主線結(jié)論（4）拉格郎日公式推論2 ——若f(x) 在區(qū)間（a ，b）上可導，且導函數(shù)f′(x) > 0 ，則f(x) 在區(qū)間（a ，b）上單增。 邏輯發(fā)展（“逐階判符號，分段說單調(diào)”）—— 一個很好玩的游戲 設(shè)函數(shù) 三階可導，f′″(x) 在點 x0 連續(xù)。又已知其一，二階導數(shù)在點 x0 都為0 ，而三階導數(shù)不為0 ，不仿設(shè) f′″(x0)>0 ，則有 → 連續(xù)函數(shù)一點大于0則一段大于0 。在點x0 鄰近三階導數(shù) f′″(x) 恒大于零。 → 三階導數(shù)大于零，則二階導數(shù)單增。又因為 f″(x0) = 0 ，故 當x由左方趨近點x 0 時，f″(x) 由負單增到0 ； 而從x 0點向右，f″(x)由0單增為正。 x 0 兩側(cè)二階導數(shù)反號，圖形上點（x0，f (x 0)）是拐點。 → 在x 0點左側(cè)，一階導數(shù)單減，且由正單減到0 ； 在x 0點右側(cè)，一階導數(shù)單增，且由0單增為正。f′(x 0) = 0是一階導數(shù)的極小值。導數(shù)的一個孤立零點。 → 函數(shù) f 在點x 0鄰近單增 典型應(yīng)用——“單調(diào)法”證明函數(shù)不等式 證明x >x 0 時，f (x) >g (x)，即證明 F = f (x)-g (x) >0 ，能否運用單調(diào)法，先看有沒有“初始信息”，再對F求導。看導數(shù)正負說單調(diào)，兩者結(jié)合確定函數(shù)F的符號。
這條主線玩熟了，你會提高很多。 | 
發(fā)表于 2012-6-25 09:50
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