繁瑣不等式一題求指教

livi2011 · 發(fā)表于 2012-4-24 23:24

小弟知道此題如何下手解出的答案異常怪異求高手核對答案

livi2011 · 發(fā)表于 2012-4-25 08:32

高手現(xiàn)身吧。。我解出來的答案很長亂七八糟的求核對

leo0808 · 發(fā)表于 2012-4-25 12:42

分C>0 C=0 C<0
C<0 里面再分三種情況還算不錯不算太怪異別管它直接寫上就行

xjtulx · 發(fā)表于 2012-4-27 14:09

這道題的本質(zhì)就是讓你確定y=x-0.5pi*sinx在(0,0.5pi)上的圖像，然后它和y=C的交點(diǎn)個數(shù)就是方程解的個數(shù)。
y'=1-0.5pi*cosx
y'在(0,0.5pi)上是一個單調(diào)增函數(shù)，y'(0)<0,y'(0.5pi)=1>0，然后它在(0,0.5pi)上有一個零點(diǎn)，不妨設(shè)y’(a)=0, 0<a<0.5pi
這樣當(dāng)0<x<a時，y'<0，y是單調(diào)減
當(dāng)a<x<0.5pi時，y'>0，y是單調(diào)增
結(jié)合y(0)=0,y(0.5pi)=0還有y(a)是一個極小值點(diǎn)，就把y=x-0.5pi*sinx的圖像大致畫出來了
需要把y(a)求一下。由y'(a)=0得cosa=2/pi , 然后a=arccos(2/pi)，sin(a)=根號下(1-4/pi^2)，得y(a)=arccos(2/pi)-[根號(pi^2-4)]/2

綜上
C>=0和C<y(a)時，y=C和y=x-0.5pi*sinx在(0,0.5pi)上無交點(diǎn)，方程無解。
C=y(a),一個交點(diǎn)，即一個解
y(a)<C<0，兩個交點(diǎn)，即兩個解。
當(dāng)然這里把y(a)的具體值帶進(jìn)去。

不知道對不對

a7878370 · 發(fā)表于 2012-4-27 23:36

不算怪證明題里面求根的個數(shù)提醒

a7878370 · 發(fā)表于 2012-4-27 23:55

令F（x）=x-(π/2)sinx-c F(0)=-c;F(π/2)=-c;F'(x)=1-(π/2)cosx在（0，π/2）先遞減再遞增；如果才c>0,沒有根；如果c=0,兩個根《前提是你題上的是閉區(qū)間，要是開的也沒根》；如果c<0,求駐點(diǎn)x0=arccos(2/π)，為極小值F（X0）=...然后判斷這個數(shù)的正負(fù) 再討論C 就行了但是這數(shù)真不想算了思路就是這個和3樓思路應(yīng)該是一樣的
想說一句數(shù)真難算但是思路就是這

livi2011 · 發(fā)表于 2012-4-28 00:01

a7878370 發(fā)表于 2012-4-27 23:55
令F（x）=x-(π/2)sinx-c F(0)=-c;F(π/2)=-c;F'(x)=1-(π/2)cosx在（0，π/2）先遞減再遞增；如果才c> ...

對思路一樣算出來真的是亂七八糟的{:soso_e113:}

livi2011 · 發(fā)表于 2012-4-28 00:03

xjtulx 發(fā)表于 2012-4-27 14:09
這道題的本質(zhì)就是讓你確定y=x-0.5pi*sinx在(0,0.5pi)上的圖像，然后它和y=C的交點(diǎn)個數(shù)就是方程解的個數(shù)。
y ...

對的思路一樣的就是答案繁瑣想來驗(yàn)證答案的謝了

xjtulx · 發(fā)表于 2012-4-28 00:04

直接分析出y=x-0.5pi*sinx的圖像，如下圖，然后考慮它和水平線y=C的交點(diǎn)個數(shù)，就是方程x-0.5pi*sinx=C的解的個數(shù)。

思路見4樓

livi2011 · 發(fā)表于 2012-4-28 10:42

xjtulx 發(fā)表于 2012-4-28 00:04
直接分析出y=x-0.5pi*sinx的圖像，如下圖，然后考慮它和水平線y=C的交點(diǎn)個數(shù)，就是方程x-0.5pi*sinx=C的解 ...

十分感謝。。。

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