2011年考研數(shù)學(xué)一真題k*arctan x-x不同根的個(gè)數(shù)疑問

kongqinggong · 發(fā)表于 2011-11-24 13:05

我也是這么做的！答案讓我很糾結(jié)…高手們解答一下！

callme9527 · 發(fā)表于 2011-11-24 14:55

注意函數(shù)的定義域，當(dāng)K=1時(shí)，無解，因?yàn)閄不能等于0.你這樣化等于縮小了原函數(shù)的定義域，用函數(shù)單調(diào)性和奇函數(shù)的性質(zhì)，很好求的，令fx=karctanx-x，其導(dǎo)數(shù)=(k-1-x.x)/1+x.x，當(dāng)k大于1時(shí)，導(dǎo)數(shù)等于零有兩根，X1和X2,且X1小于X2，在（0 X2）fx遞增，在(X2 正無窮）FX遞減，fo=0，所以fx2大于0，所以在(X2 無窮）存在x3使fx3=0，同理因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，（負(fù)無窮 x1)存在x4使fx4=0，所以有x4 x3 和 0三個(gè)根，樓主變換函數(shù)時(shí)注意區(qū)分函數(shù)的定義域，

wcgwcg000 · 發(fā)表于 2011-11-24 19:16

可以，步驟如下：1.x=0是它的解；2.F(x)=karctanx-x是奇函數(shù)，零點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，只討論x>0的情況；
3.做變換k=x/arctanx(x>0),考慮G(x)=x-arctanx,x>0;補(bǔ)充定義G(0)=0;可知G(x)在零點(diǎn)連續(xù)
4.G'(x)=x^2/(1+x^2)>0在x>0嚴(yán)格單增函數(shù),且G(x)>G(0)=0；即x/arctanx>1，且x->+無窮時(shí)x/arctanx->+無窮

5.顯然，由x/arctanx的連續(xù)性，有：(i) 當(dāng)k>1時(shí)，存在x>0,使得x/arctanx=k，即在x>0上F(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn); (ii)當(dāng)k<=1時(shí)，無解
6.綜上所述，由對(duì)稱性知：當(dāng)k>1時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k<=1時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)x=0

a11a2233 · 發(fā)表于 2011-11-24 12:00

可以把式子化為k=x/arctanx嗎？
f(x)=x/arctanx>=1。則k>=1;
當(dāng)k<1時(shí)無根。當(dāng)k=1時(shí)有一個(gè)根。k>1時(shí)怎么求出只有兩個(gè)根？？？？
我哪里錯(cuò)了

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