證明：對于任意列向量x，有x'Ax=0的充要條件是A為反對稱陣。

zhangwei900709 · 發表于 2011-11-17 12:40

本帖最后由 zhangwei900709 于 2011-11-17 12:41 編輯

X’AX=（X’AX）’
=X’A’X=-X’AX
故結論得證
第一步利用一個數等于他的轉置。

haixiao003 · 發表于 2011-11-17 12:43

zhangwei900709 發表于 2011-11-17 12:40
X’AX=（X’AX）’
=X’A’X=-X’AX
故結論得證

得不出A是反對稱陣啊

zhangwei900709 · 發表于 2011-11-17 12:53

haixiao003 發表于 2011-11-17 12:43
得不出A是反對稱陣啊

對任意X.
由X’AX=0得X’A’X=0
故X’（A+A’）X=0
有X的任意性A+A’=0
故得證

06443420 · 發表于 2011-11-17 13:01

zhangwei900709 發表于 2011-11-17 12:53
對任意X.
由X’AX=0得X’A’X=0
故X’（A+A’）X=0

按你這樣說，A豈非一定是0矩陣，有x'Ax=0啊

haixiao003 · 發表于 2011-11-17 13:11

zhangwei900709 發表于 2011-11-17 12:53
對任意X.
由X’AX=0得X’A’X=0
故X’（A+A’）X=0

很明顯不對啊。。。

zhangwei900709 · 發表于 2011-11-17 13:19

06443420 發表于 2011-11-17 13:01
按你這樣說，A豈非一定是0矩陣，有x'Ax=0啊

不是啊，反對稱矩陣就可以啊
（零矩陣當然可以了）。不知你注意沒有A+A’是對稱矩陣！X’（A+A’）X可以對角化，化為平方和的形式，要使上式為零，必須A+A’=0

zhangwei900709 · 發表于 2011-11-17 13:21

haixiao003 發表于 2011-11-17 13:11
很明顯不對啊。。。

那請指正。

06443420 · 發表于 2011-11-17 13:24

本帖最后由 06443420 于 2011-11-17 13:26 編輯

zhangwei900709 發表于 2011-11-17 13:19
不是啊，反對稱矩陣就可以啊
（零矩陣當然可以了）。不知你注意沒有A+A’是對稱矩陣！X’（A+A’）X可以 ...

它必然可以對角化我知道，但不一定能寫成平方和，可以是平方減平方。

06443420 · 發表于 2011-11-17 13:42

zhangwei900709 發表于 2011-11-17 13:19
不是啊，反對稱矩陣就可以啊
（零矩陣當然可以了）。不知你注意沒有A+A’是對稱矩陣！X’（A+A’）X可以 ...

當然，“X’（A+A’）X=0，由X的任意性A+A’=0”這句話絕對正確的，只不過你要證明它，這道題才完整啊。。。。。

haixiao003 · 發表于 2011-11-17 13:46

zhangwei900709 發表于 2011-11-17 13:21
那請指正。

和5樓同問，條件只是A為對稱陣，沒說是實對稱矩陣，x'Ax化為平方和就是二次型吧，而二次型的前提是A為是對稱矩陣，如果當做二次型，那就是說可以通過變換為標準型，但是平方項的系數，也就是正負慣性指數不知道，也不能說每個都為0吧，有正也有負的，而且，貌似就線性無關里面才有這種東西。。

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