關于2011年數學一第一題選擇題的解法探討

xu_connery · 發表于 2011-10-19 11:12

本帖最后由 xu_connery 于 2011-10-19 12:42 編輯

李的歷年真題上的做法，我感覺他是已經知道了（3，0）是拐點再反推的，若是設（x-4）的四次方以外的為g（x），那又是什么工作量？

最直接的思路是，二階導為0，三階導不為0.但是本人試了幾個網上的方法，都沒搞定（方法二三四也沒看懂啥意思。。。）還請各位點撥一下！

方法一

穿軸法奇穿偶回畫圖像。我畫出來如下圖，只能排除B、D

方法二

在x=3附近（x-3）這個地方考慮用等價無窮小考慮下，其他項當成常數，答案一下子出來了

方法三

這題秒殺 (x-1)^m * .............. 其中........x趨近于1時為某常數。有(x-1)^m ......等價m階近似于(x-1)^m 故原題：1的臨域相當于(x-1) 2附近相當于(x-2)^2 相當于輕松選出C

方法四

這個題目用泰勒公式理解是最容易的，y=(x-3)^3(x-3+2)(x-3+2)^2(x-3-1)^4,可以很明顯看出來（x-3)的0次，1次，2次方的系數都為0，3次方系數不為0，所以在x=3處二階導數為0，三階導數不為0，為曲線拐點。

漂移的愛 · 發表于 2011-10-19 12:30

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xu_connery · 發表于 2011-10-19 12:36

漂移的愛發表于 2011-10-19 12:30
定義解 1.2區間 (f1+f2)/2=0>f(1+2)/2

哎呀，竟然忘了定義了！！

有時候，唉，還真是忘了最根本的東西啊！

考研CPU · 發表于 2011-10-19 12:48

看完了真是豁然開朗，李永樂牛啊

xu_connery · 發表于 2011-10-19 17:22

考研CPU 發表于 2011-10-19 12:48
看完了真是豁然開朗，李永樂牛啊

這位兄弟，李永樂那方法雖然有一般性，但你不覺得用來解選擇題工作量太大了嗎

考研CPU · 發表于 2011-10-19 22:32

xu_connery 發表于 2011-10-19 17:22
這位兄弟，李永樂那方法雖然有一般性，但你不覺得用來解選擇題工作量太大了嗎
...

其實如果說普遍性的話，我首先想到的是定義出發，二階導數為0，且再左右側變化時候分別大于，小于0，這個其實就是3階導數不等于0，不過既然符號可以很快判定的話，就沒有必要再考慮了。其實李永樂的幾種方法我都有想到，一開始嘗試用這種穿越數軸的方法，發現不會其中的原理，至于所謂的等階級無窮小的那種，其實我想和導數的方法其實有異曲同工之妙

xcpole · 發表于 2011-12-23 07:32

漂移的愛發表于 2011-10-19 12:30
定義解 1.2區間 (f1+f2)/2=0>f(1+2)/2

這題用所謂的定義方法去解是行不通的！
首先，這個方法的始作俑者肯定是知道答案后反推回去的，乍一看好像挺對，其實既不符合本來對凹凸性的定義，也無法排出x=1和x=4，反而用此方法還會得出x=4也是拐點的錯誤結論……（用此法，比較y=4，y=5，y=6，發現在（4，+）上函數是凹的，而用此法判斷出（3.4）為凸，則x=4為拐點）
再者，真正畫出函數圖像，以（-，1）為凹，（1，1.5）為凹，（1.5，2）為凸，（2，2.5）為凸，（2.5，3）為凸，（3，3.5）為凹，（3.5，4）為凹，（4，+）為凹，這樣才得出x=3為拐點的結論
還有，有的答案用y=g(x)(x-3)^3解，雖然能解出來，但不具有普適性，而且總覺得是知道答案以后反推的……
目前仍在困惑此題，不知道誰能給出一個常規思路……

wolock · 發表于 2011-12-23 22:43

我記得有個多項式函數的定理，說的是一個多項式函數f(x)，如果x=a是它的k重根(k>=1)，那么x=a一定是f'(x)的k-1重根。這樣就可以寫出f''(x)的基本形式f''(x)=h(x)(x-3)(x-4)^2,其中h(x)不含根x=1,2,3,4;如果這樣看的話答案就一目了然了

2012fendou · 發表于 2011-12-23 22:51

（x-4）以外的g（x),計算量不大吧都不會變號

huangyustrong · 發表于 2011-12-24 20:19

八樓這方法見過，解這題很好。

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