400題里一個詭異的求極限題

11911778 · 發(fā)表于 2011-10-13 22:15

第8套的9題，其中有個lim x->0時 [xf'(x)+f(0)-f(x)]/x^2，答案上是用洛比達(dá)法則求得1/2f''(0)，但這個如果這么做：上式=f'(x)/x-[f(x)-f(0)]/x^2=f'(x)/x-f'(0)/x=f''(0)行不行呢？如果錯了，錯在哪？

wolock · 發(fā)表于 2011-10-13 23:00

在求[f(x)-f(0)]/x^2這個的時候，你丟掉了一個高階無窮小(x2項)，而事后證明這個高階無窮小是不能丟掉的。
這一步不能用導(dǎo)數(shù)的定義，正確的解法是把f(x)在x=0處泰勒展開到x2項f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x2/2。這樣再代入就沒有問題了

ahqw4321 · 發(fā)表于 2011-10-13 23:13

最后一步什么意思?

forverd · 發(fā)表于 2011-10-13 23:56

你這樣寫不對你能保證f‘（x)* 存在嗎？

靳小萌 · 發(fā)表于 2011-10-14 13:04

f'(x)當(dāng)x趨于0時，為0嗎

11911778 · 發(fā)表于 2011-10-14 13:49

靳小萌發(fā)表于 2011-10-14 13:04
f'(x)當(dāng)x趨于0時，為0嗎

f'(0)=1，f"(0)存在，這是題干條件

11911778 · 發(fā)表于 2011-10-14 13:52

本帖最后由 11911778 于 2011-10-14 13:53 編輯

wolock 發(fā)表于 2011-10-13 23:00
在求[f(x)-f(0)]/x^2這個的時候，你丟掉了一個高階無窮小(x2項)，而事后證明這個高階無窮小是不能丟掉的。 ...

[f(x)-f(0)]/x2不等于[f(x)-f(0)]/x*1/x嗎？用導(dǎo)數(shù)定義求得f'（0）/x不對嗎？

wolock · 發(fā)表于 2011-10-15 11:27

11911778 發(fā)表于 2011-10-14 13:52
[f(x)-f(0)]/x2不等于[f(x)-f(0)]/x*1/x嗎？用導(dǎo)數(shù)定義求得f'（0）/x不對嗎？

按題設(shè)來看，應(yīng)該不能用泰勒展式，那個要求在一個鄰域可導(dǎo)，但你這個題目只是說在x=0一點可導(dǎo)。不過有一點我想說明一下。導(dǎo)數(shù)的定義，那個式子不是一個等式，而只是一個極限。lim[x->0] [f(x)-f(0)]/x = f'(0) + o(1),實際上泰勒展式能更好地解釋這個問題。
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2+……,移項再除一個x:[f(x)-f(0)]/x=f'(0)+f''(0)x/2+……,當(dāng)x->0的時候f''(0)x/2以及后面的一切都->0所以可以省略,但如果是[f(x)-f(0)]/x^2,那后面的f''(0)x/2就不能忽略了，所以說你丟掉了一個不應(yīng)該丟掉的高階無窮小。

11911778 · 發(fā)表于 2011-10-15 13:43

wolock 發(fā)表于 2011-10-15 11:27
按題設(shè)來看，應(yīng)該不能用泰勒展式，那個要求在一個鄰域可導(dǎo)，但你這個題目只是說在x=0一點可導(dǎo)。不過有一 ...

謝謝，差不多明白了

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