有意思（16）無窮小的“階”與應用

戰地黃花 · 發表于 2010-11-30 11:37

微積分還有一個名稱，叫“無窮小分析”。
      兩個無窮小的商求極限，既是典型的未定式計算，又有深刻的理論意義。即“無窮小的比較”。
      如果商的極限為1，則分子分母為等價無窮小。極限為0 ，分子是較分母高階的無窮小。極限為其它實數，分子分母為同階無窮小。
      為了考試，要盡可能記住一些常用的等價無窮小。
      利用 Δy ~ d y （數學一，二用泰勒公式）生成等價無窮小 ——
      當 f ′（x0）≠ 0 時，Δy ~ d y ，在原點計算Δy和d y ，得到常用的4個等價無窮小
               sin x ~ x ； ln（1+x）~ x ；e xp（x）-1 ~ x  ；√（1+ x）-1 ~ x ∕ 2
            最好再記住 1-cos x ~ x 2 ∕ 2       （e xp（x）記以e為底的指數函數）
      等價無窮小的復合拓展 ——
               x→0 時，α (x)是無窮小，則 sin α (x) ~α (x) ； ln（1+α (x)）~ α (x) ，……

      標準階無窮小與無窮小的階 ——
      高等微積分中，把 x→0（或0+）時，冪函數  y = （x的μ次方）稱為μ 階無窮小。與它同階的無窮小，都是μ階無窮小。于是，常用的1階無窮小有，
               x ， sin x  ， tg x  ， arcsin x  ， arctg x  ， e xp（x）-1
            常用的2 階無窮小有  1- cos x
         等價無窮小的差為高階無窮小 ——
      值得記一記的有（常見的三階無窮小）  x ? sin x  ~  x 3  / 6
                           x ? lnx（1+ x）~  x2 / 2 ， exp（x）-（1 + x） ~ x2/2！，……
      不同階的有限個無窮小的線性組合是無窮小。（“多項式型無窮小”。）它與其中最低階的那個無窮小同階。
比如          y = ln（1+x）+ 1-cos x  是1 階無窮小
再復雜一點，       5x ? sin x - cos x + 1 = 4x + （1- cos x ）+ （x ? sin x ），是1階無窮小
      由于“等價無窮小的差”也可以說成是“無窮小的和”，或“無窮小的線性組合”，所以，“無窮小的和”，或“無窮小的線性組合”，其階數都是未定式。

      無窮小的積是高階無窮小。
      無窮小（在區間背景下）也是有界變量。所以，“無窮小與有界變量的積”是無窮小，但階數是未定式。
比如， x→0 時， x2 + 3x  與 x 同為1階。實際上，x 2 + 3x = x（x+3），后因子極限非0
            但 x sin（1/x）的階數不能確定。
   在階的意識下對0 / 0型未定式作結構分析與調整 ——
      例1    x→∞，求  lim x sin（2x/（x2+1））
      分析 x→∞ 時，2x/（x2+1）是無窮小，sin（2x /（x2+1））~（2x /（x2+1），可替換。
      例2    x→0 時，  求 lim (5x ? sin x - cos x + 1) / (3x - l nx)
         分析原極限 = lim (4x + 1- cos x + x ? sin x) / (2x +x -lnx)
            分子分母都是“多項式型無窮小”。用“化0項法”，分子分母同除以（商式中的）最低階的無窮小。                   原極限 = 2
         例3    x→0 時，  求 lim（1/ x2）ln（sin x / x）
      分析（    數三學過冪級數） sin x = x - x3 / 6 + ……
                     ln（sin x / x）= ln（1— x 2 / 6 + ……）~ —x 2 / 6 ，可替換。
      無窮小怪例 ——不能確定階數的無窮小
            怪例1       α = x sin（1/x）和β = x 都是無窮小，但是它們的商是震蕩因子sin（1/x），沒有極限。兩個無窮小不能比較。
      更有意思的是，若 γ = x的k次方，則無論 k = 0.9,還是k = 0.99, k = 0.999,……，α總是比γ高階的無窮小。
      怪例2    x → +∞ 時，  l i m （x的n次方）∕exp（x）= 0    即 l i m （x的n次方）exp（-x）= 0
這表明：“x趨于 +∞ 時，指數函數exp（x）是比任意高次方的冪函數都還要高階的無窮大。”
或說， x趨于 +∞ 時， exp（-x）是“任意大階的”無窮小。它能“吞吸”任一有限階的無窮大。

      怪例3       x → +∞ 時，  lim  l n x ∕ （x的δ次方）= 0
            其中，δ是任意取定的一個很小的正數。這表明： x 趨于 +∞ 時，“對數函數lnx總是比 x的δ次方都還要低階的無窮大。”或說，1 / l n x是“階數任意小” 無窮小。

      無窮小的階與級數，廣義積分收斂性 ——
      判斷級數，廣義積分收斂性，首先判斷絕對收斂性。
      如果用“無窮小量”的語言來說，則，“級數收斂的必要條件是，n → +∞時，級數的通項是無窮小量。”
      這個條件不是充分條件。如果我們已經判定正項級數的通項的無窮小階數為p ，則p > 1時級數收斂，p≤1時級數發散。
   “已經判定”是重要前提。請看（并記住）怪例
      盡管1 / n ln n 是較 1/n 高階的無窮小，但是，通項為 1 / n ln n 的級數也發散.然而，通項為 1 / n (ln n)2　的級數收斂．你卻不能確定其無窮小階．
      *若n → +∞時，兩個正項級數和的通項是同階無窮小，則這兩個級數或者都收斂，或者都發散。（這是極限形式的比較法的實質。）
      例  ∑ Un為正項級數，下列結論中正確的是______
               （A）若n → +∞時，lim n Un=0 ，則∑ Un收斂。
      （B）若∑ Un收斂，則n → +∞時，lim  n2 Un = 0
               （C）若存在非零常數λ，使得n → +∞時，lim n Un = λ，則級數 ∑ Un發散。
         （D）若級數∑ Un發散，則存在非零常數λ，使得lim n Un = λ
            分析  （A）錯，條件雖然說明n → +∞時，Un是比1/n高階的無窮小，但我們不能確定其階數。
      答案為（C），它說明n → +∞時，Un是與1/n 同階的無窮小。

      對于廣義積分.有判斷定理 ——
      若x→ +∞時，f（x）是（能夠確定的）大于1階的無窮小，則f（x）的無窮積分收斂。（能夠確定的）
      若x→ b時，f（x）是（能夠確定的）低于1階的無窮大，且f（x）在[a，b]上只有這一個“暇點”，則f（x）在[a，b]上的暇積分收斂。
   （潛臺詞：要收斂嗎？“好”要好到一定程度，“壞”也得尚可救藥。）

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-11-30 21:07 編輯 ]

sdc2010 · 發表于 2010-11-30 11:59

sofa

kanzo · 發表于 2010-11-30 12:20

這個帖子挺好的其實還可以更深入一點的

小慧。。 · 發表于 2010-11-30 12:30

額，看完后回帖，板凳竟沒了…

小慧。。 · 發表于 2010-11-30 12:28

板凳

occupation · 發表于 2010-11-30 14:24

Nettle(LB) · 發表于 2010-11-30 16:22

看不懂，哈哈

janxuejun · 發表于 2010-11-30 16:28

頂戰地老師。。。

juncharlene · 發表于 2010-11-30 17:21

[em:42] GOOD

yang4319419 · 發表于 2010-11-30 17:34

好貼支持！

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