分析法，綜合法，反證法，構(gòu)造法

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-9-16 20:59

         分析法，綜合法，反證法，都是歐氏分析方法。歐氏分析方法起自于歐氏幾何，早在公元前400年左右即為人類總結(jié)運(yùn)用。
      構(gòu)造法是微積分學(xué)，代數(shù)學(xué)自身的方法。
   分析法——盡可能由已知條件挖掘信息，并以此為起點(diǎn)作邏輯推理。
         一元微積分講究條件分析。要用分析法，就需要對(duì)各個(gè)概念理解準(zhǔn)確，強(qiáng)弱分明；推理有序，因果清晰。為了彌補(bǔ)非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的“短板”，我建議大家把考研題目中出現(xiàn)頻率較高的典型條件，預(yù)先推個(gè)滾瓜爛熟。比如
      已知條件“f（x）連續(xù)，且x趨于0時(shí)，lim(f（x）/x) = 1”的推理。
      （見(jiàn)講座（9）基本推理先記熟。）
         已知條件“f（x）在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且f ′(x0) > 0 ”
的推理。
      （這是闡述“一點(diǎn)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)大于0與一段可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)大0的差別；證明洛爾定理（費(fèi)爾瑪引理），達(dá)布定理，……，等的關(guān)鍵。
         見(jiàn)講座（11）洛爾定理做游戲；講座（17）論證不能憑感覺(jué)。）
         已知條件“非零矩陣AB = 0”的推理。

      （見(jiàn)講座（42）矩陣乘法很愜意。）
         已知“含參的三階方陣A能與對(duì)角陣相似，且A有二重特征值。計(jì)算參數(shù)。”的推理。
      （見(jiàn)講座（48）中心定理路簡(jiǎn)明。）
         “已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)或隨機(jī)向量（X，Y）的密度函數(shù)，求函數(shù)型隨機(jī)變量U = φ (x) 或U =φ(x ，y) ”的推理計(jì)算
         （見(jiàn)講座（78）分布函數(shù)是核心。）
         一個(gè)嫻熟的推導(dǎo)就是一條高速路啊。你非常熟練了嗎？！
      綜合法 —— 由題目要證明的結(jié)論出發(fā)，反向邏輯推理，觀察我們究竟需要做什么。
         最典型的范例是考研數(shù)學(xué)題目“證明有點(diǎn)ξ，滿足某個(gè)含有函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式”。
      例設(shè)函數(shù)f (x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f (0) = 0，則區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ ，使得
f (ξ) f ′(1―ξ) = f ′(ξ) f (1―ξ)
      分析（綜合法）即要證明
f (ξ) f ′(1―ξ) ― f[b′(ξ) f (1―ξ) = 0
            點(diǎn)ξ是運(yùn)用某個(gè)定理而得到的客觀存在。用x替換ξ，就得到剛運(yùn)用了定理，還沒(méi)有把點(diǎn)ξ代入前的表達(dá)式。即
f (x) f ′(1―x) ― f′(x) f (1―x) = 0
         （在點(diǎn) x =ξ 成立）
            聯(lián)想到積函數(shù)求導(dǎo)公式，即（f (x) f (1―x)）′= 0
         （在點(diǎn) x =ξ 成立）
            這就表明應(yīng)該作輔助函數(shù)F (x) = f (x)，證明其導(dǎo)數(shù)在（0，1）內(nèi)至少有一零點(diǎn)。
            易知F (0) = F (1) = 0，且F (x)在 [a, b] 連續(xù)，在（a, b）內(nèi)可導(dǎo)，可以應(yīng)用洛爾定理證得本題結(jié)論。
            當(dāng)然，題型多種多樣，但這總是一條基本思路。如果關(guān)系式中有高階導(dǎo)數(shù)，那要考慮試用泰勒公式。
         反證法 —— ……。
            這是大家都較為熟悉的方法。但是你也許沒(méi)有注意到，用反證法簡(jiǎn)單可證的一個(gè)小結(jié)論，在微積分中有著很廣的應(yīng)用。粗糙地說(shuō)，這就是

         “A極限存在（或連續(xù)，或可導(dǎo)）+ B極限不存在（或不連續(xù)，或連續(xù)不可導(dǎo)）= ？”
            隨便選一說(shuō)法用反證法，比如
            如果，“連續(xù)A + 不連續(xù)B = 連續(xù)C”
則“ 連續(xù)C-連續(xù)A = 不連續(xù)B”
            這與定理矛盾。所以有結(jié)論： 連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和一定不連續(xù)。不過(guò)要注意，證明是在“同一個(gè)點(diǎn)”進(jìn)行的。
            作為簡(jiǎn)單邏輯結(jié)論，自然類似有：
         （同一過(guò)程中）A極限存在 + B極限不存在 = C極限一定不存在
            （同一個(gè)點(diǎn)處）A可導(dǎo) + B連續(xù)不可導(dǎo) = C一定連續(xù)不可導(dǎo)
            還可以在級(jí)數(shù)部份有：
            收斂 + 發(fā)散 = 發(fā)散，
                           絕斂 + 條斂 = 條斂
            對(duì)于乘法，由于分母為0時(shí)逆運(yùn)算除法不能進(jìn)行，必須首先限定以確保用反證法獲得結(jié)論。比如

            “若f（x）在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且f（x0）≠ 0，g（x）在點(diǎn)x0 連續(xù)不可導(dǎo)，則積函數(shù)y = f（x）g（x）在點(diǎn)x0一定連續(xù)不可導(dǎo)。”
            （見(jiàn)講座（8）求導(dǎo)熟練過(guò)大關(guān)。）
            對(duì)于積函數(shù)y = f（x）g（x）求極限，我們由此得到了一個(gè)小技術(shù)。即
         “非零極限因式可以先求極限。”（見(jiàn)講座（16）計(jì)算極限小總結(jié)。）
         （畫(huà)外音：或是分子的因式，或是分母的因式，只要極限非0，就先給出極限，再“騎驢看唱本”……。）
            構(gòu)造法 ——（難以“言傳”，請(qǐng)多意會(huì)。）
            老老實(shí)實(shí)地寫(xiě)，實(shí)實(shí)在在地描述，水到渠成有結(jié)論。這是微積分自家的方法 ——“構(gòu)造法”。但是在構(gòu)造法思維過(guò)程中，往往也綜合運(yùn)用著分析法，綜合法，反證法。
            “證明有界性”，也許最能顯示“構(gòu)造”手段，即把變量的“界”給構(gòu)造出來(lái)。*例
            已知函數(shù) f（x）在 x≥a 時(shí)連續(xù)，且當(dāng)x → +∞ 時(shí)f（x）有極限A ，試證明此函數(shù)有界。
         分析本題即證，∣f（x）∣≤ C
            討論有界性，我們只學(xué)了一個(gè)定理，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有界。本題中如何“管住”那個(gè)無(wú)窮的尾巴呢？那就看你能否體驗(yàn)條件“x → +∞ 時(shí)f（x）有極限A” ，即

         “我們一定可以取充分大的一點(diǎn)x0，使得x > x0時(shí)，總有∣f（x）∣≤∣A∣+1 ”
            把半直線x≥a分成 [a，x0] 與 x > x0兩部分，就能“構(gòu)造”得∣f（x）∣≤ C
            （（祥見(jiàn)講座（9）基本推理先記熟。）
            在講座（11）“洛爾定理做游戲”中講的“壘寶塔”游戲，在講座（13）“圖形特征看單調(diào)”中講的“逐階說(shuō)單調(diào)”，都是構(gòu)造法的討論方式。
            每完成一個(gè)題目，不妨想想用的什么方法。你也許提高得更快。

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