考研數(shù)學(xué)講座（18）泰勒公式級(jí)數(shù)連

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-6-9 08:20

中值定理是應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)變化特點(diǎn)的橋梁。中值定理運(yùn)用函數(shù)在選定的中心點(diǎn)x0的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值以及可能的高階導(dǎo)數(shù)值，把函數(shù)表示為一個(gè)多項(xiàng)式加尾項(xiàng)的形式。再利用已知導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)處理尾項(xiàng)，對(duì)函數(shù)做進(jìn)一步討論。
      中值定理的公式（可微分條件，有限增量公式，泰勒公式,……  ）都是描述型的數(shù)學(xué)公式。
      描述型的數(shù)學(xué)公式并不難學(xué)。什么條件下可以用什么樣的公式描述，你記住公式，完整地寫(xiě)出來(lái)不就行了。公式中的“點(diǎn) ξ ” 理解為客觀存在的點(diǎn)。

      在選定的中心點(diǎn)x0，函數(shù)的已知信息越豐富，相應(yīng)的泰勒多項(xiàng)式與函數(shù)越貼近。
      1.“ 微分是個(gè)新起點(diǎn)” —— 若函數(shù) f（x）在點(diǎn)x0可微，
            Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx) ；其中，ο(Δx)表示“比 Δx 高階的無(wú)窮小。”
則函數(shù)實(shí)際上就有了一個(gè)新的（微局部的）表達(dá)式：
            f（x）= f (x0) + f ′ (x0)(x-x0) +  ο(Δx)       （ ο(Δx)  尾項(xiàng)，比Δx高階的無(wú)窮?。?br />    （潛臺(tái)詞：只有|Δx |充分小，“高階無(wú)窮小”余項(xiàng)才有意義。）
      歷史上，這個(gè)表達(dá)式稱為，“帶皮阿諾余項(xiàng)的一階泰勒公式”。

      2. 拉格郎日公式 —— 若函數(shù)f (x)在閉區(qū)間 [a，b] 上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn) ξ ，使得          f (b)-f (a) = f ′(ξ)（b-a）
      定理說(shuō)的是區(qū)間，應(yīng)用時(shí)不能太死板。在滿足條件的區(qū)間內(nèi)取任意兩點(diǎn)，實(shí)際上也組成一個(gè)（子）區(qū)間。
      比如，在區(qū)間內(nèi)任意選定一點(diǎn)x0，對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)x，（任給一點(diǎn)，相對(duì)不變。）也可以有
                  f (x) - f (x0) = f ′(ξ)（x-x0），ξ 在 x 與 x0 之間，
   （潛臺(tái)詞：任意一點(diǎn) x ，對(duì)應(yīng)著一個(gè)客觀存在的“ 點(diǎn) ξ ” ， ξ = ξ（x））
即                f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x--x0），ξ 在 x 與x0 之間，

   3. 泰勒公式 —— 如果函數(shù)在點(diǎn)x0鄰近有二階導(dǎo)數(shù)
         f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x - x0）+ （f ″(ξ) /2）（x - x0) 2  ，ξ 在 x 與x0之間
式中的尾項(xiàng)叫拉格郎日尾項(xiàng)。有時(shí)也把 ξ 表示為 x0 + θ(x - x0) ，0<θ＜1
            一般情況下，我們無(wú)法知道  ξ = ξ（x）的結(jié)構(gòu)、連續(xù)性等，只能依靠已知導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)限定尾項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用目的。
            如果函數(shù)在點(diǎn)x0二階可導(dǎo)，我們可以用高階無(wú)窮小尾項(xiàng)（皮阿諾余項(xiàng)）
         f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x - x0）+ （f ″(x0) /2）（x - x0）2 + ο（|Δx| 2）

       泰勒系數(shù) —— 如果在點(diǎn)x0鄰近 f（x）n+1 階可導(dǎo)，則有泰勒系數(shù)
               f（x0），f ′(x0) ， f ″(x0) / 2！，f ′ ″(x0) / 3！，……
可以寫(xiě)出， f（x）= n次泰勒多項(xiàng)式 + 拉格朗日尾項(xiàng)

      4.  泰勒級(jí)數(shù) —— 如果在點(diǎn)x0鄰近 f（x）無(wú)窮階可導(dǎo)，不妨就取 x0 = 0 ，則利用泰勒系數(shù)可以寫(xiě)出一個(gè)冪級(jí)數(shù)
               f（x）= f（0）+ f ′(0) x +（f ″(0) /2）x 2 +（f  ′″(0 ) / 3！）x 3  + ……
這個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是否就是 f（x）呢？不一定！
   （畫(huà)外音：太詭異了，f（x）產(chǎn)生了泰勒系數(shù)列，由此泰勒系數(shù)列生成一個(gè)冪級(jí)數(shù)，它的和函數(shù)卻不一定是    f（x）。就象雞下的蛋，蛋孵出的卻不一定是雞。）
      關(guān)鍵在余項(xiàng)。當(dāng)且僅當(dāng) n → ∞時(shí)，泰勒公式尾項(xiàng)的極限為 0 ，f（x）一定是它的泰勒系數(shù)列生成的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。稱為 f（x）的泰勒展開(kāi)式。
      驗(yàn)證這個(gè)條件是否成立，往往十分困難。故通常利用五個(gè)常用函數(shù)的泰勒展開(kāi)式，依靠唯一性定理，用間接法求某些別的函數(shù)的泰勒展開(kāi)式。
            美國(guó)的學(xué)生特別輕松，他們的大學(xué)數(shù)學(xué)教材很有創(chuàng)意，早在極限部分就要他們當(dāng)成定義記住指數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的泰勒展開(kāi)式。
               exp（x）= 1 + x + x 2 /2！+ x 3 / 3！+ ……          -∞<x<∞
                        sin x = x -  x 3 / 3！ + ……                -∞<x<∞
         （逐項(xiàng)求導(dǎo)， cos x = 1 -  x 2 / 2！+ ……          -∞<x<∞）
此外還有                ln（1+x）= x - x 2 /2 + x 3 /3  + ……          -1<x< 1
                           （1+x）的μ次方 = 1 + μ x +（μ (μ－1) / 2?。﹛ 2 +（μ(μ－1)(μ－2) / 3?。﹛ 3 + ……
                     1/ (1-x)  = 1 + x2 + x3 +  ……             -1<x< 1，上同

      泰勒公式基本應(yīng)用（1）—— 等價(jià)無(wú)窮小相減產(chǎn)生高階無(wú)窮小。
               關(guān)鍵在于低階項(xiàng)相互抵消。應(yīng)用泰勒公式直接有  ，x→ 0 時(shí)，
                     exp（x）- 1  ~ x ， exp(x)-1-x  ~  x2 / 2
                              sin x ~ x ，    sin x - x ~  - x 3 / 3！    ， cos x -1  ~  - x 2 / 2
                        ln（1+x）~  x  ，    ln (1+x) - x  ~  - x 2 /2
                                 （1+x）的μ次方－ 1 ~ μ x
            例87  已知x→ 1時(shí)，lim(√(x3+3) - A - B(x -1) - (x -1) 2 ) / (x -1) 2 = 0 ，試確定常數(shù)，A，B，C
            分析已知表明 x→ 1時(shí)，分子是較分母高階的無(wú)窮小。
      題面已暗示，應(yīng)將函數(shù) y =√(x3+3) 在點(diǎn) x = 1 表示為帶皮阿諾余項(xiàng)的泰勒公式，且必有
                  常數(shù)項(xiàng) = A       一次項(xiàng)系數(shù) = B       二次項(xiàng)系數(shù) = C
低階項(xiàng)相互抵消，分子為高于二次方級(jí)的無(wú)窮小。
      于是       A = y(1) = 2 ，B = y ′(1) = 3/4  ，C = y″(1) / 2 = 39/64
         （畫(huà)外音：有的人一遇上這類題就想用洛必達(dá)法則，這在邏輯上是錯(cuò)的。不懂得無(wú)窮小的變化機(jī)理。
               如果只有兩個(gè)參數(shù)，可看講座（9）。）
      泰勒公式基本應(yīng)用（2）——帶皮阿諾余項(xiàng)的泰勒公式用于求極限
            例88 若 x→ 0 時(shí) ，極限 lim ( sin6 x+ f（x）) / x 3 = 0  ，則
                                    x→ 0 時(shí)，極限 lim ( 6 + f（x）) / x 2  =  ?
               分析分子有兩項(xiàng)。決不能把 sin6 x 換為 6x ，
      （潛臺(tái)詞：sin6 x 不是分子的因式，是分子的一項(xiàng)。）
      這時(shí)正好用“帶皮阿諾余項(xiàng)的一階泰勒公式”， sin 6x = 6 x - （ 6x) 3 / 3！+ ο（|Δx| 3）
代入已知極限，移項(xiàng)得 lim ( 6 + f（x）) / x 2  = 36

             例89   設(shè)函數(shù) f (x) 在 x = 0 的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且 f (0)≠0，f ′(0)≠0，記
               F(h) = λ1 f (h) + λ2 f (2h) + λ3 f (3h) 一 f (0)，
      試證，存在唯一的實(shí)數(shù)組λ1，λ2，λ3，使 h → 0 時(shí)，F(xiàn)(h) 是比 h 2 高階的無(wú)窮小。
         分析  討論極限問(wèn)題，有高階導(dǎo)數(shù)信息，先寫(xiě)帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式
               f（x）= f（0）+  f ′(0) x + （f ″(0) /2）x 2 + ο（|x| 2）
       這是函數(shù) f（x）的一個(gè)新的（微局部的）表達(dá)式，當(dāng)然可以表示 f (h) ， f (2h)， f (3h)
                           f (h) =  f（0）+  f ′(0) h + （f ″(0) /2）h 2 + ο（| h | 2）
               f (2h) =  f（0）+  f ′(0) 2 h + （f ″(0) /2）（2h）2 + ο（| h | 2）
                  f (3h) =  f（0）+  f ′(0)3 h + （f ″(0) /2）（3h）2+ ο（| h | 2）
      （潛臺(tái)詞：常數(shù)因子不影響尾項(xiàng)。）
      將各式代入F(h),整理得
      F(h) = ( λ1+λ2+λ3一1) f（0）+ ( λ1+2λ2+3λ3) f ′(0) h + ( λ1+4λ2+9λ3) f ″(0) h 2/2 + ο（| h | 2）
      要讓 h → 0 時(shí)，F(xiàn)(h) 是比 h 2 高階的無(wú)窮小。，只需令上式中的常數(shù)項(xiàng)及 h 和 h 2 項(xiàng)的系數(shù)全為0 ，這就得到未知量 λ1，λ2，λ3 的一個(gè)齊次線性方程組，它的系數(shù)行列式是三階的范德蒙行列式，其值不為0，故可以相應(yīng)算得唯一的一組λ1，λ2，和λ3
            泰勒公式基本應(yīng)用（3）——帶拉格郎日尾項(xiàng)的泰勒公式用于一般討論
            例90 —— 凸函數(shù)不等式
      如果函數(shù)f (x) 二階可導(dǎo)且二階導(dǎo)數(shù)定號(hào)，（稱為凸函數(shù)），則應(yīng)用泰勒公式可以得到不等式
               f (x)≥（或≤）f（x0）+ f ′(x0)(x-x0)
            實(shí)際上 f（x）=  f（x0）+ f ′(x0)(x-x0)+ (f ″(ξ) /2 ) (x-x0) 2 ，ξ 在x與x0之間
      設(shè) f ″(x)> 0 ，自然有 (f ″(ξ) /2 ) (x-x0) 2 > 0 ，舍掉此項(xiàng)就得到不等式。
      *例91    函數(shù) f (x) 在 [-1，1] 上有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，且 f (-1) = 0 ，f (1)=1，f ′(0) = 0，試證明在區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn) ξ  ，使得  f ″′(ξ) = 3
            分析  選中心點(diǎn) x0 = 0 ，在區(qū)間內(nèi)討論，寫(xiě)出帶拉格郎日尾項(xiàng)的泰勒公式
            f（x）= f（0）+（f ″(0) /2）x 2 +（f ′ ″(η ) / 3?。﹛3 , η 在 0 與 x 之間
       既然這是 f (x) 的又一個(gè)表達(dá)式，當(dāng)然可以代入x = -1 , 1 ，它們分別相應(yīng)有ξ 1，ξ 2
                     0 = f（-1）= f（0）+（f ″(0) /2）(-1)2 +（f ′″(ξ 1 ) / 3！）(-1) 3 , -1<ξ 1<0
                     1 =  f（1）=  f（0）+（f ″(0) /2）12 +（f ′″(ξ 2) / 3！）1 3 , 0 <ξ 2< 1
               到了這一步，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，兩式相減，能得到只剩下有關(guān)三階導(dǎo)數(shù)值的表達(dá)式。
                     f ′″(ξ 2)  +  f ′″(ξ 1 )  =  6
               或著兩個(gè)三階導(dǎo)數(shù)值都等于3 ，本題得證。
      或者它們一大于3 ，一小于3 ，而函數(shù) f ″′(x) 連續(xù)，可以應(yīng)用介值定理完成本題證明。

[ 本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2010-6-9 20:33 編輯 ]

wubingwinner · 發(fā)表于 2010-6-9 13:12

老師謝謝啦！剛剛拜讀完了！收獲不少噢期待您的下次更新

hogwash · 發(fā)表于 2010-6-9 20:25

板凳？[em:42]

吾aiYY · 發(fā)表于 2010-10-27 09:19

呵呵，之前不懂那些等價(jià)無(wú)窮小怎么來(lái)的，看了終于明白了~~~

koggg · 發(fā)表于 2010-12-6 15:50

例88好像有問(wèn)題

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-12-6 20:32

例88題面的 f（x）項(xiàng)，應(yīng)為 x f（x），少寫(xiě)了個(gè)x
謝謝。

fadinglover · 發(fā)表于 2011-3-11 22:11

這個(gè)應(yīng)該還是看書(shū)好吧

alexchao · 發(fā)表于 2011-3-13 08:13

吾aiYY 發(fā)表于 2010-10-27 09:19
呵呵，之前不懂那些等價(jià)無(wú)窮小怎么來(lái)的，看了終于明白了~~~

不知道你說(shuō)這句話什么意思，好像等價(jià)無(wú)窮小，不需要泰勒就可以推導(dǎo)出來(lái)吧。lim（sin X）/x=1（x-->0）就是其等價(jià)無(wú)窮小的依據(jù)，而此處用的是夾逼準(zhǔn)則

aideluz · 發(fā)表于 2012-7-15 11:44

頂起

lshf92 · 發(fā)表于 2014-7-1 10:58

好

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