求助高手,這個(gè)結(jié)論成立嗎?

數(shù)學(xué)笨笨 · 發(fā)表于 2010-5-18 16:29

如果一個(gè)函數(shù)(沒說是連續(xù)的)f是由R到R的單射,那么如果有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)對(duì)一切實(shí)數(shù)a,b都成立,那么就能推出f(x)=x
但是,如果把f改成由復(fù)數(shù)域到復(fù)數(shù)域的單射,上述兩個(gè)等式對(duì)一切復(fù)數(shù)都成立,是否還有f是復(fù)數(shù)域上的恒等函數(shù)?若是,應(yīng)該怎么證明.

數(shù)學(xué)笨笨 · 發(fā)表于 2010-5-18 16:36

....

tian632671313 · 發(fā)表于 2010-5-22 09:26

應(yīng)該可以的。。。我想不出其他的特殊情況

數(shù)學(xué)小癡 · 發(fā)表于 2010-5-23 18:47

看看f（x）=0；

caigen1 · 發(fā)表于 2010-5-24 13:44

先在實(shí)數(shù)域內(nèi)證明恒有 f（x）=x

A. 由題有：
  f（0）=f（0）+f（0）；
得 f（0）=0；
  又 f(1)=f(1)*f(1),得 f(1)=1或  f(1)=0 (f（1）=0,舍去，因?yàn)閒為單射，且f(0)=0)。
易得 f(-1)=f(1)+f(0)=-1;
B.證f（x）為嚴(yán)增
  因?yàn)閷?duì)任意 x>0,有x=x^(1/2)*x^(1/2);
故  f（x)=f（x^(1/2))^2>=0;
又 f（0）=0；f單射，則 f（x）>0;
同樣對(duì)x<0;有 f（x)=f(-1)*f(-x)=-f(-x)<0;
  任取實(shí)數(shù) x y，且x>y,
有  f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y）>0;
  即  f(x)>f(y),嚴(yán)增。
C 證 f（x）=x
因?yàn)?“有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)對(duì)一切實(shí)數(shù)a,b都成立”，
當(dāng) x 為有理數(shù)時(shí)，記x為 x=p/q；（p，q為整數(shù)）
則  f（x）=f（p）*f（1/q）=p*f(1/q)=p/q;
f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)對(duì)一切實(shí)數(shù)a,b都成立，則對(duì)任意有理數(shù) x，在其U（x，e），e為任意小正數(shù)，
由實(shí)數(shù)的稠密性，知有  在其左領(lǐng)域內(nèi)有有理數(shù)列{An},An->x(n趨于無窮）,，右領(lǐng)域內(nèi)有有理數(shù)列{Bn}，Bn->x（n趨于無窮）;
滿足    x-e<An<x<Bn<x+e,
  由B知 f（x）嚴(yán)增，則 f（An）<f(x)<f(Bn);
即當(dāng)  n趨于無窮時(shí)，Lim（f（A(n））=Lim（A(n））=x，Lim（f（Bn））=Lim（B(n））=x，
由迫斂性知有 f（x）=x；
即證得  f（x）=x；

D  在復(fù)數(shù)域內(nèi)有
         由  f（1）=f（i）*f（-i）=-f（i)^2,得 f（i）=i，或 f（i）=-i；
   又 f（a+bi)=f（a）+f（bi）=f（a)+f(b)f(i)=a+bf(i);
顯然滿足線性關(guān)系，
又  f（（a+bi)*w)=f(a+bi)*f(w)=(a+bf(i))f(w);
向量 (1,0),(0,i）可看做基向量，當(dāng)f（i)=i時(shí)，滿足o
有  i  <-->  -i,為一一映射，但當(dāng)  f（i)=-i，時(shí)滿足  f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)，但沒有 f（x）=x，恒等。

僅供參考。有參考答案不，有給我發(fā)一份吧，不甚感激,感覺上面不是很嚴(yán)密。D中嚴(yán)格的證明沒找到，只能顯然吧，呵呵。我的郵

箱 hhxsym@126.com

caigen1 · 發(fā)表于 2010-5-24 18:27

先在實(shí)數(shù)域內(nèi)證明恒有 f（x）=x

A. 由題有：
  f（0）=f（0）+f（0）；
得 f（0）=0；
  又 f(1)=f(1)*f(1),得 f(1)=1或  f(1)=0 (f（1）=0,舍去，因?yàn)閒為單射，且f(0)=0)。
易得 f(-1)=f(1)+f(0)=-1;
B.證f（x）為嚴(yán)增
  因?yàn)閷?duì)任意 x>0,有x=x^(1/2)*x^(1/2);
故  f（x)=f（x^(1/2))^2>=0;
又 f（0）=0；f單射，則 f（x）>0;
同樣對(duì)x<0;有 f（x)=f(-1)*f(-x)=-f(-x)<0;
  任取實(shí)數(shù) x y，且x>y,
有  f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y）>0;
  即  f(x)>f(y),嚴(yán)增。
C 證 f（x）=x
因?yàn)?“有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)對(duì)一切實(shí)數(shù)a,b都成立”，
當(dāng) x 為有理數(shù)時(shí)，記x為 x=p/q；（p，q為整數(shù)）
則  f（x）=f（p）*f（1/q）=p*f(1/q)=p/q;
f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)對(duì)一切實(shí)數(shù)a,b都成立，則對(duì)任意有理數(shù) x，在其U（x，e），e為任意小正數(shù)，
由實(shí)數(shù)的稠密性，知有  在其左領(lǐng)域內(nèi)有有理數(shù)列{An},An->x(n趨于無窮）,，右領(lǐng)域內(nèi)有有理數(shù)列{Bn}，Bn->x（n趨于無窮）;
滿足    x-e<An<x<Bn<x+e,
  由B知 f（x）嚴(yán)增，則 f（An）<f(x)<f(Bn);
即當(dāng)  n趨于無窮時(shí)，Lim（f（A(n））=Lim（A(n））=x，Lim（f（Bn））=Lim（B(n））=x，
由迫斂性知有 f（x）=x；
即證得  f（x）=x；

D  在復(fù)數(shù)域內(nèi)有
         由  f（1）=f（i）*f（-i）=-f（i)^2,得 f（i）=i，或 f（i）=-i；
   又 f（a+bi)=f（a）+f（bi）=f（a)+f(b)f(i)=a+bf(i);
顯然滿足線性關(guān)系，
又  f（（a+bi)*w)=f(a+bi)*f(w)=(a+bf(i))f(w);
向量 (1,0),(0,i）可看做基向量，當(dāng)f（i)=i時(shí)，滿足。
有  i  <-->  -i,為一一映射，但當(dāng)  f（i)=-i，時(shí)滿足  f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)，但沒有 f（x）=x，恒等。

   有沒人做啊，看了也給點(diǎn)意見啊。 A B C 項(xiàng)證的還算差不多，D顯然，沒什么可說明的。暈倒，下次還是少來了，老被人放鴿子。看熱鬧的多，參與的少！??！打字都用了半小時(shí)，浪費(fèi)時(shí)間！

寶貝狂 · 發(fā)表于 2010-6-15 20:05

這得利用到Q在R上是稠密的

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