有意思（7）計算D(卡方(1))是個大綜合練習

戰地黃花 · 發表于 2010-5-14 09:39

《概率統計》不是第一層次基礎課程。學習《概率》需要你有較好的《高等數學》基礎。比如，計算D(卡方(1))就是個大綜合練習。（潛臺詞：D(卡方(n)) = 2n）
   預備1 —— 我們知道，exp（x2）是四個“典型不可積”中最為露臉的一個。正態分布的密度函數與它同為一家，但是密度函數在全直線積分為1。在歷史上，人們曾利用這個特點及定積分技巧來計算一些無窮積分。計算D(卡方(1))，最尾端就要用到它。
   預備2 ——我在“講座”，逐講給大家建立一個“材料庫”。最早在（5）中有一條
         “x 趨于 +∞ 時，指數函數 exp（x）是比任意高次方的冪函數都還要高階的無窮大?！?/strong>
或者說，    “x 趨于 +∞ 時，函數 exp（-x）是任意高階的無窮小?！?/strong>
      預備3 —— 分部積分的要點是“變化”
            ∫甲?乙dx =（甲的一個原函數)?(乙)-∫(甲的這個原函數) ?(乙的導數)dx

         設 X 服從標準正態分布，我們計算  D(X2)，即證明 D(卡方(1)) = 2
         鑒于輸入問題，我寫出步驟，大家在紙上劃一下
   （1）用平方關系來算D(X2)，得先算均值  E(X四次方)
         設  f（x）是N (0, 1)的密度函數，求 E(X四次方），被積函數  x 四次方 f（x）  在全直線積分
   分  x 四次方 f（x）=  x 3?x f（x），注意 x f（x）的原函數恰是  -f（x）
   分部積分一次，求極限知第一部分答案為0， (運用預備2),    第二部分是  3x2f (x)  在全直線積分
   再分 x2f (x) =  x? x f（x） , 又分部積分，同樣求極限知第一部分答案為 0       ，
                                 第二部分已是3倍密度函數 f（x）在全直線積分，當然為 3
      （2）用平方關系來算
   我常常開玩笑把平方關系 E(X2) = μ2 + σ2 稱為“概率勾股定理”。
   D（X2）=  E(X 四次方）-（E(X2)）2 = 3 -1 = 2
         怎么樣，有點意思吧。

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-5-14 09:42 編輯 ]

GoogleFans · 發表于 2010-5-14 18:10

樓主還是請用公式編輯器吧，謝謝了

wjt6613 · 發表于 2010-5-15 01:05

樓主的每個帖子我都會仔細研讀希望繼續（CN貼）

戰地黃花 · 發表于 2010-5-16 07:54

請問，“公式編輯器”是否是論壇的設置，怎么用？謝謝

yinjh0820 · 發表于 2011-8-10 23:21

非常感謝樓主的經典帖子

kentluo29 · 發表于 2011-10-13 18:06

{:soso_e113:}受教了
謝謝老師

驀然回首@ · 發表于 2011-10-13 23:29

受教了。。

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