有意思（7）計(jì)算D(卡方(1))是個(gè)大綜合練習(xí)

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-5-14 09:39

《概率統(tǒng)計(jì)》不是第一層次基礎(chǔ)課程。學(xué)習(xí)《概率》需要你有較好的《高等數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)。比如，計(jì)算D(卡方(1))就是個(gè)大綜合練習(xí)。（潛臺(tái)詞：D(卡方(n)) = 2n）
   預(yù)備1 —— 我們知道，exp（x2）是四個(gè)“典型不可積”中最為露臉的一個(gè)。正態(tài)分布的密度函數(shù)與它同為一家，但是密度函數(shù)在全直線(xiàn)積分為1。在歷史上，人們?cè)眠@個(gè)特點(diǎn)及定積分技巧來(lái)計(jì)算一些無(wú)窮積分。計(jì)算D(卡方(1))，最尾端就要用到它。
   預(yù)備2 ——我在“講座”，逐講給大家建立一個(gè)“材料庫(kù)”。最早在（5）中有一條
         “x 趨于 +∞ 時(shí)，指數(shù)函數(shù) exp（x）是比任意高次方的冪函數(shù)都還要高階的無(wú)窮大。”
或者說(shuō)，    “x 趨于 +∞ 時(shí)，函數(shù) exp（-x）是任意高階的無(wú)窮小。”
      預(yù)備3 —— 分部積分的要點(diǎn)是“變化”
            ∫甲?乙dx =（甲的一個(gè)原函數(shù))?(乙)-∫(甲的這個(gè)原函數(shù)) ?(乙的導(dǎo)數(shù))dx

         設(shè) X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，我們計(jì)算  D(X2)，即證明 D(卡方(1)) = 2
         鑒于輸入問(wèn)題，我寫(xiě)出步驟，大家在紙上劃一下
   （1）用平方關(guān)系來(lái)算D(X2)，得先算均值  E(X四次方)
         設(shè)  f（x）是N (0, 1)的密度函數(shù)，求 E(X四次方），被積函數(shù)  x 四次方 f（x）  在全直線(xiàn)積分
   分  x 四次方 f（x）=  x 3?x f（x），注意 x f（x）的原函數(shù)恰是  -f（x）
   分部積分一次，求極限知第一部分答案為0， (運(yùn)用預(yù)備2),    第二部分是  3x2f (x)  在全直線(xiàn)積分
   再分 x2f (x) =  x? x f（x） , 又分部積分，同樣求極限知第一部分答案為 0       ，
                                 第二部分已是3倍密度函數(shù) f（x）在全直線(xiàn)積分，當(dāng)然為 3
      （2）用平方關(guān)系來(lái)算
   我常常開(kāi)玩笑把平方關(guān)系 E(X2) = μ2 + σ2 稱(chēng)為“概率勾股定理”。
   D（X2）=  E(X 四次方）-（E(X2)）2 = 3 -1 = 2
         怎么樣，有點(diǎn)意思吧。

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