考研數學講座（7）導數定義是重點

202020 · 發表于 2010-9-30 11:45

xiexie le

加油Jiao · 發表于 2010-9-30 10:51

牛！

zhupengyu3638 · 發表于 2010-6-12 17:09

很受用感謝LZ了不過前幾個在哪？

戰地黃花 · 發表于 2010-2-19 09:05

選定一個中心點 x0 ，從坐標的角度講，可以看成是把原點平移；從物理角度說，是給定一個初始點；從觀察角度議，是選好一個邊際點。  微量分析考慮的問題是：  在 x0 點鄰近，如果自變量 x 有一個增量 Δx ，    則
函數相應該有增量 Δy = f（x0+Δx）－ f（x0），我們如何表述，研究及估計這個 Δy  呢？
   最自然的第一考慮是“變化率”。中國人把除法稱為“歸一法”。無論 Δx 的絕對值是多少， Δy／Δx 總表示，“當自變量變化一個單位時，函數值平均變化多少。”
         定義   令 Δx 趨于零，如果增量商 Δy／Δx 的極限存在，就稱函數在點 x0 可導。稱極限值為函數在點x0 的導數。記為       Δx → 0 ， lim（Δy／Δx）=  f ′(x0)
         或    Δx → 0 ， lim (（f（x0+Δx）－ f（x0））／(x－ x0）)  =  f ′(x0)
         或    x →x0 ， lim (（f（x）－ f（x0））／(x－ x0）) = f ′(x0)
   理解1 你首先要熟悉“增量”這個詞。它代表著一個新的思維方式。增量 Δy  研究好了，在 x0 鄰近  ，             f（x）= f（x0）+ Δy  ，函數就有了一個新的表述方式。
   回頭用“增量”語言說連續，則“函數在點x0 連續” 等價于 “Δx 趨于0 時，相應的函數增量 Δy 一定趨于0”
   理解2  要是以產量為自變量 x，生產成本為函數 y ，則 Δy／Δx 表示，在已經生產 x0 件產品的狀態下，再生產一件產品的平均成本。導數則是點 x0 處的“邊際成本”。
   （畫外音：“生產”過程中諸元素的磨合，自然會導致成本變化。）
   如果用百分比來描述增量，則（Δy/y）／（Δx/x）表示，在 x0 狀態下，自變量變化一個百分點，函數值平均變化多少個百分點。如果 Δx 趨于零時極限存在，稱其（絕對值）為 y 對 x 的彈性。
   理解3    如果函數 f 在區間的每一點處可導，就稱 f 在此區間上可導。這時，區間上的點與導數值的對應關系構成一個新的函數。稱為 f 的導函數。簡稱導數。函數概念由此得到深化。
   用定義算得各個基本初等函數的導數，稱為“求導公式”。添上“和，差，積，商求導法則”與“復合函數求導法則”，我們就可以計算初等函數的導數。
   例24    設函數  f(x) =（n→∞）lim(（1 + x）∕（1 + x 的2 n次方）), 討論函數 f(x) 的間斷點，其結論為
   （A）不存在間斷點    （B）存在間斷點x = 1       （C）存在間斷點x = 0          （C）存在間斷點x = －1
         分析這是用極限定義的函數，必須先求出 f(x) 的解析表達式，再討論其連續性。
   任意給定一點 x ，(視為不變。)此時，把分母中的“x的2n次方”項看成是“（x平方）的n次方 ”，這是自變量為 n 的指數函數。令 n→∞ 求極限計算相應的函數值。
   鑒于指數函數分為兩大類，要討論把 x 給定在不同區間所可能的影響。（潛臺詞：函數概念深化，就在這變與不變。哲學啊！）算得
      －1＜x＜1  時，f(x) = 1 + x  ； f(1)=1  ； f(－1) = 0
而       x＜－1  或 x＞1 時，恒有 f(x) = 0  ，觀察得 x →1 時，lim f(x) = 2 ；應選（B）。

    理解4    運用定理（2），“極限存在的充分必要條件為左、右極限存在且相等。”則
                 “函數在點x0可導” 等價于“左，右導數存在且相等”。
         討論分段函數在定義分界點x0處的可導性，先看準，寫下中心點函數值  f（x0），然后分別在 x0 兩側算左導數，右導數。
   例25    （1）h 趨于 0+ 時， lim( f(h)－f(0）)/h 存在不等價于函數在 0 點可導，因為它只是右導數。
   （2）h 趨于 0 時，  lim (f(2h)－f（h））/h 存在不等價于函數在 0 點可導，因為分子中的函數増量不是相對于中心點函數值的増量。
   請對比:  如果 f（x）函數在 0 點可導，則 h→0 時，
         lim (f(2h)－f（h））/ h = lim (f(2h)－f(0）+ f(0）－f（h））/ h
                                                   = 2lim (f(2h)－f(0）) / 2h － lim (f（h）－f(0))/ h
                                                   = 2 f ′(0) － f ′(0) =  f ′(0)
      （畫外音：我把上述恒等變形技術稱為“添零項獲得增量”。考試中心認為你一定會這個小技術。
   （2）中的不等價，要點在于，即便（2）中的極限存在，f（x）在 0 點也可能不可導。你可以作上述恒等變形，但是，你無法排除“不存在－不存在 = 存在” ）
   例26 若函數 f（x）滿足條件 f（1+x）= a f（x），且 f ′(0) = b，數 a≠0，b≠0 則
   （A）  f（x）在x = 1不可導。（B）f ′(1) = a          （C）f ′(1) = b                （D）f ′(1) =a b
      分析  將 f ′(0) = b 還原為定義  lim (f(0+h)－f（0））/ h = b ,
      要算 f ′(1) ，考查  lim (f(1+h)－f（1））/ h    ；如何向 f ′(0) 的定義式轉化？！只能在已知恒等式上下功夫。
   顯然 f(1+h)= a f（h）；而 f（1）= f（1+0）= a f（0）
            lim (f(1+h)－f（1））/ h  =  lim a (f(h)－f（0））/ h = ab       應選（D）。
   *理解5   兩個無窮小的商求極限，就可以看成是兩個無窮小的比較。于是，
   連續函數  f（x）在點 x0 可導的充分必要條件是，  x →x0  時，函數增量 Δy 是與 Δx 同階，或較 Δx 高階的無窮小。
      考研的小題目中，經常在原點討論可導性，且往往設函數在原點的值為零。我稱這為“雙特殊情形”。這時，要討論的增量商簡化為 f（x）/x ，聯想一下高低階無窮小知識，可以說，“雙特殊情形”下函數在原點可導，等價于 x 趨于 0 時，函數是與自變量 x 同階或比 x 高階的無窮小。如果函數結構簡單，你一眼就能得出結論。

  例27   設函數 f（x）在點 x = 0 的某鄰域內有定義，且恒滿足 ∣f (x)∣≤ x 平方，則點 x = 0 必是 f (x) 的
   （A）間斷點。  （B）連續而不可導點。  （C）可導點，且 f ′(0) = 0       （D）可導點，且  f ′(0) ≠ 0
      分析  本題中實際上有夾逼關系 0 ≤∣f (x)∣≤ x 平方，在 x = 0 的某鄰域內成立。這就表明 f（0）= 0 ，且
            ∣f (x) / x∣≤∣ x∣，由夾逼定理得，f ′(0) = 0，應選（C）。

   例28    設有分段函數 f (x)： x ＞ 0 時，f (x) = (1－cosx)∕√x ； x ≤ 0 時，f (x) = x 平方g(x)
其中，g(x) 為有界函數。則 f (x) 在點 x = 0
                  （A）不存在極限。（B）存在極限，但不連續。  （C）連續但不可導。（D）可導。
   分析  由定義得中心點函數值 f（0）= 0 ；本題在“雙特殊情形”下討論。
   x ＞0  時，顯然 f (x) 是比 x 高階的無窮小。右導數為 0          （潛臺詞：1－cosx 是平方級無窮小。）
         x ≤ 0  時，f (x) / x = xg(x) ，用夾逼法可判定左導數為0 ；    應選（D）。

   *理解6 運用定理（3），若 f（x）函數在點 x0 可導，即有已知極限  Δx → 0 ， lim（Δy／Δx）= f ′(x0)
于是       Δy／Δx =  f ′(x0) + α(x)（無窮小）；即 Δy = f ′(x0) Δx + α(x)Δx
      由此即可證明，函數在點x0可導，則一定在x0連續。
      “如果分母是無窮小，商的極限存在，則分子也必定是無窮小。”
   經濟類的考生可以這樣來體驗“可導一定連續”。考數學一，二的同學則應將此結論作為一個練習題。
   把導數定義中的極限算式記得用得滾瓜爛熟，你就既不會感到它抽象，也不會感到有多難。考研的題目設計都很有水平，如果側重考概念，題目中的函數結構通常都比較簡單。
   不要怕定義。就當是游戲吧。要玩好游戲，你總得先把游戲規則熟記于心。

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-2-20 07:34 編輯 ]

戰地黃花 · 發表于 2010-2-23 07:23

陽春三月風光好，抓好基礎正當時。

戰地黃花 · 發表于 2010-3-2 07:34

(7)與(8)是一套，正反兩面理解深。

戰地黃花 · 發表于 2010-3-12 08:05

導數定義,出現概率為1

foryouj · 發表于 2010-3-13 11:08

標記下

fishli007 · 發表于 2010-6-12 14:55

謝謝

wubingwinner · 發表于 2010-6-1 08:04

大師級人物謝謝為我們指導講解收益非淺

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