有限求和到積分的不等式問題！！！

pengyuxu · 發(fā)表于 2009-11-1 17:02

說明一下：C^2(D)表示D上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)空間！

[ 本帖最后由 pengyuxu 于 2009-11-1 17:45 編輯 ]

tpz2010 · 發(fā)表于 2009-11-6 10:47

妍開 · 發(fā)表于 2009-11-11 10:25

2n+2等分后，
  左邊=|奇數(shù)號區(qū)間積分 *-1+ 1/2（奇數(shù)號區(qū)間積分+偶數(shù)號區(qū)間積分）|
         = 1/2|　奇數(shù)號區(qū)間積分-偶數(shù)號區(qū)間積分 |
   注意上述的被積函數(shù)皆為f ' (！！），故原式等價于證：　f＇換為f，ｆ＇＇換為f＇，ｆ一階可導(dǎo) 的情形（！）。
現(xiàn)在舉反例：
　　在這２ｎ＋２個區(qū)間構(gòu)造峰谷相間的正弦函數(shù)作為新的ｆ，左邊是許許多多個峰（谷）面積的一半，右邊只是半個峰（谷）面積，左比右大多了，而函數(shù)無限次可導(dǎo)。
　　
　　郁悶了一晚上啊！希望沒錯。有錯敬請指正。　
　

妍開 · 發(fā)表于 2009-11-11 23:32

從舉反例開始說錯了。這是個正確的命題。現(xiàn)重新解答如下（限于條件表達(dá)不規(guī)范但思路肯定嚴(yán)密）：

2n+2等分后，
  左邊=|奇數(shù)號區(qū)間積分 *-1+ 1/2（奇數(shù)號區(qū)間積分+偶數(shù)號區(qū)間積分）|
         = 1/2|　奇數(shù)號區(qū)間積分-偶數(shù)號區(qū)間積分 |
（用牛萊公式）
   注意上述的被積函數(shù)皆為f ' (！！），故原式等價于證：　f＇換為f，ｆ＇＇換為f＇，ｆ一階可連續(xù)導(dǎo) 的情形（！）。
不妨假設(shè)左邊奇積分<偶積分，從而去掉絕對值。
并且兩邊同除以1/2。
考慮每對奇偶區(qū)間，任取它們中的一對研究，設(shè)其端點(diǎn)從左至右為x1,x2,x3，則左邊的每一個單位為每一對的偶區(qū)間積分 - 奇區(qū)間積分，用一次積分中值定理和牛萊公式，它其實(shí)是f ' (x)在 c1到c2的積分再乘小區(qū)間長度（即1/(2n+2))，其中x1<c1<x2<c2<x3（這里有一點(diǎn)點(diǎn)跳），它是不大于|f ' (x)|在x1到x3的積分*1/(2n+2)的，（最基本的定積分放縮），而這，正是右邊的單位。

妍開 · 發(fā)表于 2009-11-11 23:38

這題估計寫起來挺痛苦

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有限求和到積分的不等式問題！！！

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