注冊巖土基礎考試復習資料

七號檸檬水 · 發表于 2021-7-15 15:37

第1章  空間解析幾何
第一節：向量的概念及運算
  1.有關概念
（1）向量是有大小又有方向的量。
（2)向量的坐標：設向量的起點為，終點為，則

（3）向量的模：

（4）向量的方向角與方向余弦：
向量與軸、軸、軸正向的夾角、叫向量的方向角。叫做的方向余弦，有
  ，
（5）單位向量：模為1的向量。
1）向量的單位化：與向量同方向的單位向量
2）基本單位向量：與軸、軸、軸同方向的單位向量分別為

（6）零向量：模為0的向量。
（7）兩向量相等：模相等且方向相同，記為
（8）兩向量的夾角：將兩向量的起點放在一起，他們所夾的不超過的角。
（9）向量在軸上的投影：向量在軸上的投影
2.向量的線性運算
（1）兩向量的和
1）定義：
2) 運算律：
交換律
結合律
（2）數與向量相乘
1) 是數，是向量，
2) 運算律

?3.向量的數量積（點積）
1．定義：兩向量的數量積是一個數，
2．坐標表達式：
3．運算律：滿足
交換律
分配律
注：不滿足結合律
4．兩向量垂直的充分必要條件：
5．兩向量夾角的余弦公式:
4.向量的向量積（叉積）
1.定義：兩向量的向量積是一個向量，記為，其模：，
方向：且符合右手規則。
2．坐標表達式:

3．運算律：滿足分配律
注：不滿足交換律，有  ，也不滿足結合律。
4.兩向量平行（共線）的充分必要條件：

【例題1-1】設均為非零向量，則下面結論正確的是：
(A)是與垂直的充要條件
(B) 是與平行的充要條件
（C）是與平行的充要條件
(D) 若是常數），則
解：是與平行的充分必要條件，應選C。

【例題1-2】設,,與都垂直的單位向量為:
   (A)             (B)
   (C)          (D)
解:由向量積定義知，，故作向量的向量積,再單位化則可.由于
,取，再單位化得,故應選(D).
【例題1-3】設都是向量，下列說法正確的是（）。
（A）          （B）
（C）       （D）
解：由于向量的數量積不滿足結合律，（B）和(D)選項不成立，再由于向量的向量積不滿足交換律，(C)選項也不成立；而，故選（A）
【例題1-4】若向量滿足，且,則等于：
A.                      B.
   C.                D. 不能確定
解：，

5.向量的混合積
（1）定義：三向量的混合積記為
（2）計算：
（3）性質：
1）
2）三向量共面
【例題1-5】已知，若共面，則等于：
（A） 1或2    （B）或2    （C）或    （D）或
解: 由共面,則，計算行列式可得，，解得和，故應選（C）

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