考研數學：關于原函數存在性的問題

匿名用戶 · 發表于 2021-2-23 14:53

今天看到一個幾年前的問題，寫了一個回答，可惜發不了，就新發一個帖子吧，問題和回答如圖

問題大概是：一個連續函數的導數圖像出現了一個無窮間斷點，而老師說過函數有無窮間斷點，那么原函數不存在，這是否矛盾？

我思考了一下這個問題，寫個回答理清一下思路：
1.討論原函數存在的問題，必須給出一個具體區間，比如說：某個函數f(x)是否在R上有原函數F(x)，而此時，如果說函數f(x)在這個所討論的區間內存在無窮間斷點，那么在這一點上就不可能有原函數。不過這倒不是因為間斷點的原因，因為無窮間斷點是該點極限不存在，不代表f(x)在該點處沒有定義
問題是：就算你在這一點處給f(x)補上了定義，比如f(x)=0，也不可能找到一個原函數F(x)在這一點處存在導數值F\'(x)
因為假設f(x)在這一點上有原函數F(x)，根據導數極限定理，F(x)在該點處左導數等于導函數f(x)在該點處的左極限，為無窮大，右導數同樣為無窮大，那么F(x)在該點處導數F\'(x)不存在，與導函數f(x)在該點處有定義f(x)=0矛盾
因此，應該這么表述：f(x)在某個區間D上均有定義，但存在一個無窮間斷點，那么f(x)在區間D上不存在原函數

2.同樣的：f(x)在某個區間D上均有定義，但存在一個第一類間斷點，那么f(x)在區間D上不存在原函數，具體的原因我就不說了，網上找一找都有

3.如果是振蕩間斷點，就不一定，因為可能可以通過補充定義的方式使得其在整個區間上存在原函數，那個經典例子我就不弄出來了，手機上不方便打

4.回到題主的這個問題，這個導函數f(x)的圖像說明，f(x)不可能在R上存在原函數，而且它在那個間斷點處本身也沒有定義，更談不上有沒有原函數的問題，但不妨礙f(x)在除了這個點的左右區間上有一個原函數F(x)，而且F(x)在R上連續
也就是說在F(x)這個點上連續那是沒有問題的，因為F(x)連續并不代表可導，類似的例子有F(x)=x^(1/3)在0處連續但不可導，同樣存在類似圖像的導函數f(x)，在0處是無窮間斷點
另外說個類似的例子f(x)=1/x，我們默認它是連續的，而且有：連續函數必存在原函數，所以存在原函數F(x)=ln|x|，但實際上它只在定義域上連續，在R上并不連續，但是這并不矛盾，因為我們說它有原函數，默認的區間都是不包括0的，函數在沒有定義的點討論是否存在原函數又有什么意義呢

5.說到間斷點的問題，f(x)=lnx，在0的右側有定義，在左側沒有定義，而0處的右極限是無窮，那么0是否屬于無窮間斷點？
答案是不屬于，因為間斷點的討論需要f(x)在該點處去心鄰域，也就是左右都存在定義

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