考研經(jīng)驗分享

星星12368

從我研究的歷年真題中不難看出，考研數(shù)學(xué)考試大綱（數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三）近五年沒有任何變化，這說明考研命題的規(guī)律依然延續(xù)往年的原則，不會出現(xiàn)偏題、怪題、超綱題目，仍然以考察基本概念、基本理論和基本方法為主，所以按照海文老師給出的學(xué)習(xí)計劃按部就班地放心復(fù)習(xí)，努力就一定會有更大的收獲，更好的成績。
與中值相關(guān)的證明題是歷年考研試題中的重點也是難點，得分率不高，考生對具體定理的條件結(jié)論能看明白，但是做題的時候，不知道如何使用。其主要原因是不能把具體的知識點和考題結(jié)合起來，不會歸納其中的常考題型，這里我們?nèi)f學(xué)教育海文考研的數(shù)學(xué)老師將要重點介紹與中值相關(guān)的證明題的處理手法，以期起到舉一反三的作用。根據(jù)我們的統(tǒng)計分析，微分中值定理的三大定理中，羅爾定理、拉格朗日定理考查頻繁，而柯西中值定理考查相對較少，一般數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二更容**查。首先，我們對比分析一下它們的條件、結(jié)論與可命題角度。
先來看羅爾定理，羅爾定理的條件是閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，端點值相等，結(jié)論是至少存在一點，使得，即導(dǎo)函數(shù)有零點，從結(jié)論上就可以看出來羅爾定理可以用來證明導(dǎo)函數(shù)有零點。羅爾定理有三個可命題角度：1. 證明：或者，2.證明：，3.導(dǎo)函數(shù)零點個數(shù)的討論。
再來看第二個重要的定理-拉格朗日中值定理，它的條件是閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，結(jié)論是至少存在一點，使得。下拉格朗日中值定理也有三個可命題角度，1.含有端點值中值等式的證明， 2.不等式的證明（出現(xiàn)函數(shù)值之差），3.討論函數(shù)有界性。
最后咱們簡單地看一下柯西中值定理，條件是閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，,結(jié)論是至少存在一點，使 。柯西中值定理主要是用來證明含有中值的等式。它與羅爾以及拉格朗日中值定理有一個很好區(qū)分的特征——包含兩個函數(shù)。
現(xiàn)在給大家講了三個中值定理的條件、結(jié)論以及可命題的角度，那么考生們在做題過程中會遇到什么樣的困難呢？主要有三點，第一點：定理的選擇。要證明一個含有中值的等式，到底是用羅爾定理？拉格朗日中值定理？還是柯西？第二點：輔助函數(shù)的構(gòu)造。我們在證明含有中值的等式時，往往需要構(gòu)造輔助函數(shù)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)也是一個難點。第三點：條件的驗證。比如說要用羅爾定理證明導(dǎo)函數(shù)有零點，此時要保證函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩點的函數(shù)值相同，這兩點不一定是端點，如何找到這兩點比較困難。
首先，定理的選擇有賴于對定理的深入了解，我們前面的陳述已經(jīng)是初露端倪。根據(jù)條件、結(jié)論的不同以及問題的難易程度，我們推薦如下次序：對于結(jié)論中不含端點信息的題目，我們考慮羅爾定理，對于結(jié)論中含有端點信息的題目，我們首先考慮用拉格朗日中值定理，先構(gòu)造一個輔助函數(shù)試驗一下，如果得不到所需結(jié)果，再考慮用柯西中值定理（如果條件中明顯出現(xiàn)兩個不同函數(shù)，或者某個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)非0，則首選柯西中值定理）。對于較少考到的“雙中值問題”（結(jié)論中出現(xiàn)兩個中值），一般考慮用兩次拉格朗日中值定理或者柯西中值定理。
其次，輔助函數(shù)的構(gòu)造有如下常用手段。1. 觀察聯(lián)想法。我們可以通過觀察所要證明等式的形式,看它是否與我們常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式相似或相同，當(dāng)兩者相似或相同時,我們可以立即聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)公式左端括號內(nèi)的函數(shù)就是我們所要構(gòu)造的輔助函數(shù)；當(dāng)不相似的時候，我們考慮加個因子，變成相似。加的因子多為指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù).這是幾個常見的形式：
        
     
2.原函數(shù)法。當(dāng)出現(xiàn)與等有關(guān)的等式時，我們把結(jié)論中的換成后，經(jīng)過適當(dāng)恒等變形（通分、十字交叉相乘、移項等）使等式右端為0,通常等式左端即為所要構(gòu)造的函數(shù)導(dǎo)函數(shù)。在很多情況下，我們對等式左端進(jìn)行積分就可以得到輔助函數(shù)，我們再驗證輔助函數(shù)是否滿足微分中值定理的條件，這就是原函數(shù)法，也稱積分構(gòu)造法.。
3. K值法。當(dāng)我們要證明含有或且含有端點的等式時，常可以把含有的式子設(shè)為，通過恒等變形（通分、交叉相乘、移項等）使得等式的右端為零，把等式中右端點換成，等式左端的式子即為輔助函數(shù)，這就是k值法。
早我看來，只要大家把握微分中值定理的條件、結(jié)論與常考題型，多做有代表性的相關(guān)習(xí)題，時常回顧總結(jié)，一定能突破考研數(shù)學(xué)中的重難點。