輔助函數

soheo12 · 發表于 2015-9-15 22:32

想問問這個怎么來的？

三峽大學考研 · 發表于 2015-9-15 23:35

其實由題目欲證結論的特點：兩個不同點的導數值，可以得知，該結論是由兩次拉氏定理得到的結果，并且兩次區間應該不同，用來保證兩個中值點不同。
而欲證結論同時對于兩個中值點來說具有對稱性，即兩中值結論中地位一樣，應該不存在應用定理的先后問題，所以考慮是一個分割點將區間分為兩部分，然后對f(x)分別應用定理所得。
如此不妨設該點為點c，函數值f(c)。該點顯然不是任意點，那么該滿足什么條件呢？不妨帶入結論中求。
將f`()=[f(c)-f(0)]/c=f(c)/c，f`()=[f(1)-f(c)]/(1-c)帶入結論中，可發現c被消掉了，f(c)=a/(a+b)，由介值定理這樣的點一定存在，所以說該思路成功，可以證出。
中值定理應用時的要素總共三個，條件有兩個，1是區間，2是函數；結論要素有一個，產生一個導數項的中值（拉氏定理產生一個函數的中值，柯西定理產生兩個函數比的中值）。先看結論中值點的特點分析用了什么定理幾次，再根據結論考慮是否需要構造輔助函數，再看應用區間。本題其實主要考察的是區間的確定，欲證結論與端點的聯系緊密，而與原來函數的關聯簡單，所以重點在如何分區間。

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