合同要求矩陣一定是對稱陣？特征值相同的兩個矩陣合同么

華夏不倒翁

合同是否要求矩陣一定是對稱陣？特征值相同的兩個矩陣一定合同么？如果不一定，請舉個反例。先謝了！

Attractor_Field

錯了錯了，完全錯了。合同的第一個要求就是實對稱矩陣。假如A和B不是實對稱矩陣，即使存在可逆矩陣P令P'AP=B，那A和B也不算合同

Cicida

引入合同變換就是為了研究二次型，只需要對實對稱陣研究合同變換就行了
不是說一般矩陣不能做合同變換，只不過如果變換矩陣不是正交陣的時候合同變換的意義不大。

華夏不倒翁

Cicida 發表于 2012-9-26 23:46
引入合同變換就是為了研究二次型，只需要對實對稱陣研究合同變換就行了
不是說一般矩陣不能做合同變換，只 ...

那特征值相同的兩個同階矩陣一定合同么？

Cicida

華夏不倒翁 發表于 2012-9-26 23:57
那特征值相同的兩個同階矩陣一定合同么？

對于實對稱陣來說是的

華夏不倒翁

Cicida 發表于 2012-9-27 00:04
對于實對稱陣來說是的

如果非對稱陣呢？

Cicida

華夏不倒翁 發表于 2012-9-29 22:37
如果非對稱陣呢？

沒研究過，聽說比較麻煩，好像是同時化為標準型判別，具體沒研究過，線代學的不怎么樣，不好意思了

華夏不倒翁

Cicida 發表于 2012-9-29 22:41
沒研究過，聽說比較麻煩，好像是同時化為標準型判別，具體沒研究過，線代學的不怎么樣，不好意思了
...

還是謝謝你哈

zhone

上述回答都不對，對于矩陣合同的定義，書上可沒要求一定得是對稱矩陣。至于相似矩陣是否合同，那就只需看一點，兩個相似矩陣的正負慣性指數是否相等，而對于一個矩陣如何定義其正負慣性指數？很簡單，就是看其規范型，然而對于一般的矩陣并未給出其合同變換下的規范化方法，也就無法定義其正負慣性指數，所以兩個相似矩陣盡管有相同的特征值，并不能保證有相同的正負慣性指數，因此不能保證它們合同。

vancky

合同矩陣定義不是針對對稱矩陣的，合同的定義是對所有矩陣都適用的。
第二，特征值相同不一定合同也不一定相似。