A*和A的秩相等么 求證明

yyl517327969

RTRT

xjtulx

r(A)=n，則r(A*)=n
r(A)=n-1，則r(A*)=1
r(A)<n-1，則r(A*)=0

泚岸彼岸

樓上正解

yyl517327969

xjtulx 發(fā)表于 2012-5-19 21:59
r(A)=n，則r(A*)=n
r(A)=n-1，則r(A*)=1
r(A)

為什么呢

xjtulx

r(A)=n，則r(A*)=n，這個好證明，由AA*=|A|E就知道了。
r(A)<n-1，則r(A*)=0，也好證明，由A*的定義就知道了，A*的每個元素都是0，是零矩陣。

當(dāng)r(A)=n-1,方程Ax=0的解系只有一個自由變量（這邊可以看線性方程組那章，就是化成階梯形后證明的），而A*的每列都是Ax=0的解，A*的各元素不全為0（因為r(A)=n-1），所以r(A*)=1。

xjtulx

還有個定理，若AB=O，則r(A)+r(B)<=n
也能用來證明r(A)=n-1，則r(A*)=1

yyl517327969

xjtulx 發(fā)表于 2012-5-19 23:02
r(A)=n，則r(A*)=n，這個好證明，由AA*=|A|E就知道了。
r(A)

因為A*每一列都是Ax=0的解 所以沒兩列都線性相關(guān)么

xjtulx

yyl517327969 發(fā)表于 2012-5-19 23:35
因為A*每一列都是Ax=0的解 所以沒兩列都線性相關(guān)么

是因為r(A)=n-1，那么方程組Ax=0基礎(chǔ)解系只有一個自由變量，而AA*=O，即A*的每列都是Ax=0的解，所以A*的每兩列必然都是線性相關(guān)的。

就是這么個邏輯關(guān)系。

kaoyangea

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