本帖最后由 戰地黃花 于 2011-4-17 21:05 編輯
矩陣的“秩”，是線性代數第一部分的核心概念。
“矩陣的秩與向量組的秩一致。矩陣的秩就是其行（或列）向量組的秩。”怎樣證明？ 就當做習題練一練。 設矩陣A的秩為 r ，則A必有一個 r 階子式不為0，而所有 r + 1階子式全為 0 邏輯1—— r 階子式不為0，則 r個 r 維向量線性無關。 分析 這是格萊姆法則推論，帶來的直接判別方法。 （畫外音：r個未知量 r個方程的齊次線性方程組僅有0 解的充分必要條件是其系數行列式不為0） 邏輯思維鏈 —— 這 r 個 r 維向量與 A 的行（或列）向量組有何關系？ 邏輯2——（“線性無關，延長無關。”定理）—— 已知一個 n 維向量組線性無關，如果在相同的位置，給組內每個向量都增加一個分量，則所得的 n + 1維向量組也線性無關。 分析 不妨認為給線性無關的 n 維向量組 a1，a 2，…，a k 的每個向量都加上第 n + 1個分量，形成一個n + 1 維向量組 b1，b 2，…，b k 若有一組不全為零的數 c1，c2，…，c k ，使得 c1b1+ c2b 2+ ---+ c k b k = 0
， 如何證明“這組常數只能全為0”？ 每個向量有 n + 1 分量，向量“線性組合為0”實際上是 n + 1個等式。前 n 個等式即 c1 a1+ c2a2+ ---+ c k a k = 0 由已知線性無關即得，這組常數只能全為0，而最后那個（第n + 1個）等式自然成立。 邏輯3 ——將線性無關的 r個 r 維向量，逐次延長為矩陣A 的 r個行向量（或列向量），它們線性無關。 （潛臺詞：簡而言之，不為0的r階子式所在的r個行向量（或列向量）線性無關。） 邏輯思維鏈（關鍵問題）——這 r 個行向量是行向量組的最大無關組嗎？ 唯一信息——A的所有r + 1階子式全為0 分析 不妨設不為0 的r 階子式就由這 r 個行的左起前 r 個分量排成。（畫外音：畫個示意圖最好。） 任取A的一行，其左起前 r個分量形成的 r 維向量，必定可以被 r 階子式的 r 個行線性表示。
記為 β = c1a1+ c2 a2 + ---+ c r a r 把式中各個向量，增加入第r+ 1個分量，這個表達式還成立嗎？ （潛臺詞：增加入 第 r+ 1個分量，討論的背景是A的一個 r + 1階子式。 r + 1 階子式為 0，則 r + 1個 r + 1維向量線性相關。β 所在的那行，可以被另 r 行線性表示。問題就在于，和增加一個分量之前對比，線性表示的“系數變還是沒變”。） 實際上，這 r+ 1個 r+ 1維向量排成 A 的r + 1階子式。是那個不為 0 的 r 階子式的“加邊行列式”。其值為0 （畫外音：繼續畫示意圖。） 對這個 r + 1階子式作試算變形，設法利用 r 維向量 β = c1a1+ c2a2+ ---+ c r a r 把第一行乘以 ? c1 ，第二行乘以 ?c2 ，……，第r行乘以 ? c r ，全都加到第r+ 1行。則第 r+ 1行的前 r 個分量都變為0，設此時第 r+ 1行的第 r+ 1個分量為c ， 按第r + 1行來展開 r + 1 階子式得方程： (左上r 階子式）c = 0， 只有c = 0 這就表明，增加入第 r+ 1個分量， β = c1a1+ c2a2+ ---+ c r a r 對r+1維向量還是成立。 添加的第 r+ 1列，自然可以隨意換為第 r+ 2個分量那列，或第 r+3個分量那列，……，討論過程與結論都一樣。即，線性組合關系存在，組合系數始終不變。 這樣一來，A的任意一行，都能被 r 階子式所在的 r個行線性表示。A的秩就是其行（或列）向量組的秩。 矩陣的秩與向量組的秩一致。求向量組的秩，排成一個矩陣，作初等變換求矩陣的秩。 想通了。有意思，很愉快。你對向量線性相關的定義式，是否理解得更細了。
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發表于 2011-4-17 20:42
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