請教一個關于特征向量的問題

奔向考研

有3階實對稱矩陣A的特征值c1=1,c2=2,c3=-2,且a1=(1,-1,1)T是A的屬于c1的一個特征向量，記B=(A^5)-(4A^3)+E,其中E為3階單位矩陣。求矩陣 B
上面是我在書中抄下來的一道題，書中的解答其它部分我看得懂，只有一部分解答有疑問：書中的解答先證明B的特征值是c4=c5=1,c6=-2,以及a1是B的對應于特征值-2的特征向量，然后根據對稱陣不同特征值對應的特征向量正交這個原理，列出方程x1-x2+x3=0，求出基礎解系a2=(1,1,0)T a3=(-1,0,1)T,然后就說B屬于特征值1的特征向量是k2a2+k3a3(k2,k3不全為0)
上面解答中的"B屬于特征值1的特征向量是k2a2+k3a3(k2,k3不全為0)"這一句我有個問題：x1-x2+x3=0求出的是和a1正交的所有向量，而B對應于1的特征向量應該只是方程所有解中的一部分，但是這一句明顯是在說方程的解中只要是不為0的都是B對應于1的特征向量，這是怎么回事，書中的定理只說明了對稱陣的不同特征值對應的特征向量正交，但是這并不意味著凡是和對稱陣的一個特征向量正交的所有非0向量就一定也是對稱陣的對應于其它特征值特征向量啊，這是怎么回事，麻煩哪位能講的詳細一點
補充一下，先前有位前輩用向量空間證明了我的疑問，但是我考的是數學二，不用學向量空間這一節，所以請不要用向量空間來證明

簫楓

對于實對稱矩陣來說，k重特征根λ有k個線性無關的特征向量（這個應該是課本上的定理，利用對稱矩陣的可對角化可以證明）