有意思（9）一個極限題的多向思考

戰地黃花

已知函數 f（x）滿足  f（0）= 0 ，fˊ（0）= 0 ，f ″（0）> 0
                   x→0 時，求極限 lim  f（x）/ x fˊ（x）= ？
         思考1，中心點處有這么豐富的信息，趕快用泰勒公式試試
                f（x）=（f ″(0) /2）x 2 + ο（x 2）
               f ′(x)  =  f ″(0) x + ο（x）     （潛臺詞：逐階運用已知信息，基本技術。）
               原極限 = lim（（f ″(0) /2）x 2 + ο（x 2））/ （ f ″(0) x 2 + ο（x 2））
分子分母同除以 x 2 ，（類型參看講座（15）。）可算得原極限 = 1/2

              思考2，通常用洛必達法則對付抽象函數的極限，要先考查導函數的連續性。
        本題中，有三個思考點
          “ f ″（0）存在”，隱含 f ′(x) 在原點鄰近存在，且 f ′(x) 在0點連續，可以用一次洛必達法則。
           一眼晃去，如果用一次洛必達法則，分母變兩項，分子還是1項，故可以考慮倒過來求。
           用一次洛必達法則后，將出現 f ″(x) ，無法計算下去。
         （畫外音：用洛必達法則的念頭快，還是用中值定理，泰勒公式的念頭快，這是水平的標志之一。）

        思考3，條件很強的“雙特殊情形”啊，能否用導數定義？
            原極限 = lim （f（x）/x）/ fˊ（x），不行！非零的因式才能先取極限。何況分母還是0極限。
           如果分子分母再同除以 x ，那分母就可以對 fˊ（x）在0 點用導數定義。分子又怎么辦呢？
           這時，“分子”為  f（x）/x 2，用一次洛必達法則后，與分母一樣處理就行了。

           請比較。泰勒公式最深刻，過程最簡潔。
           在清晰的基本概念，基本理論，基本方法狀態下思考。這是提高的關鍵。

[ 本帖最后由 戰地黃花 于 2010-6-12 12:10 編輯 ]

皮哥來考研

請樓上的同學用數學編輯器，否則看起來很麻煩，你問的問題我都看不清楚，很難給你回答啊

為夢行

好貼！！！！！！！！！！！！

有無之境

果然精彩，基礎才是王道，樓主威武！

風舞二戒

分析精彩，LZ我初來乍到，發現您十分威武啊，好多研友的題都是你講的，佩服之至！！

斷水云殤

很是一個強。唉…

slyvia妍

謝謝老師！學習了！

fyy428

f ′(x)  =  f ″(0) x + ο（x）     （潛臺詞：逐階運用已知信息，基本技術。）

這一步太精妙了

還有這句話 真是點睛之筆  非零的因式才能先取極限

hungry。

講得好 受教了

劍雨々飄香

為什么非0的因式才能取極限，能證明下嗎？謝謝啦