有意思（5）.定積分上限函數(shù)與“磨光變換”

戰(zhàn)地黃花

       被積函數(shù)是連續(xù)函數(shù) f（x）的定積分上限函數(shù) F（x）可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)就是 f（x）。
               逆向思維，這就用“構(gòu)造法”證明了：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。
        把“作上限函數(shù)”視為一種變換方式，從條件上看，相當(dāng)于通過(guò)變換將連續(xù)函數(shù)提升為可導(dǎo)函數(shù)。《廣義函數(shù)》理論中，在不光滑點(diǎn)（連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)）微局部地實(shí)施變換，就好象是用“沙輪”把曲線“尖點(diǎn)”給磨光了。故稱之為“磨光變換”。
         當(dāng)年武漢X中有個(gè)學(xué)生入選中國(guó)中學(xué)生奧數(shù)代表隊(duì)。在清華北大集訓(xùn)中，他將這套技術(shù)學(xué)得很精。正式參加世界大賽時(shí)，決賽卷上最后的坡度題恰好用“磨光變換”最簡(jiǎn)單。這個(gè)小子設(shè)計(jì)了“磨光變換”逼近列，很快地完成了解答。自信無(wú)誤之際，竟在草稿上畫卜克游戲玩。新華社電訊稿報(bào)道中學(xué)生奧數(shù)代表隊(duì)奪金時(shí)，記者把“磨光變換”寫成了“魔光變換”，好不嚇人哦。
         這里有一個(gè)聯(lián)想，如果 f（x）僅有第一類間斷，那么相應(yīng)的上限函數(shù)是否一定連續(xù)呢？
         結(jié)論是，“相應(yīng)的上限函數(shù)一定連續(xù)。”
              （畫外音：考研題中出現(xiàn)過(guò)一次。）
         在《概率統(tǒng)計(jì)》中，連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)就是密度函數(shù)的上限函數(shù)。它一定連續(xù)。由于密度函數(shù)非負(fù)，證明這個(gè)結(jié)論，用連續(xù)的增量定義最簡(jiǎn)明。
         要注意的是，設(shè) f（x）有跳躍間斷點(diǎn) a ，相應(yīng)的上限函數(shù)在點(diǎn) a 雖然連續(xù)，卻一定不可導(dǎo)。即 改善是有一定限度的。
         要證明這個(gè)結(jié)論正好用上我的“有意思（4）右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的右極限”。
         實(shí)際上，設(shè)點(diǎn) a 左側(cè)，f（x）= 初等函數(shù)φ(x)，右側(cè) f（x）= ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0) 形成跳躍間斷。記 f（x）相應(yīng)的上限函數(shù)為 F（x），則 F（x）在點(diǎn) a 連續(xù)，但是
         左側(cè)求導(dǎo) F′(x) = φ(x) ，右側(cè)求導(dǎo) F′(x) = ψ(x)  ，φ(x-0)≠ψ(x+0)
F（x）在點(diǎn) a 不可導(dǎo)。
         在點(diǎn) a 的鄰域內(nèi)，F(xiàn)（x）不是 f（x）的原函數(shù)。      
                相當(dāng)一些“模擬卷”上有這樣的題目。可以算是“擦邊球”。

[ 本帖最后由 戰(zhàn)地黃花 于 2010-5-6 21:00 編輯 ]

dounaiman

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我是這樣理解的，如果 f（x）僅有第一類間斷,不難想象他的幾何意義，即f(x)與橫坐標(biāo)軸所圍成的面積一定是連續(xù)變化的，即“相應(yīng)的上限函數(shù)F(X)是否一定連續(xù)”，而在此間斷點(diǎn)，雖然F(X)連續(xù)，但未必可導(dǎo)，從圖像上來(lái)看此間斷恰是一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。那么顯然就有F（x）不是 f（x）的原函數(shù)。
我不是數(shù)學(xué)專業(yè)，本科階段只學(xué)了最簡(jiǎn)單的微積分，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理對(duì)我來(lái)說(shuō)不可能（這不是一天的功夫），短期也沒必要。[em:18]

lhclhx

如果 f（x）僅有第一類間斷，那么相應(yīng)的上限函數(shù)是否一定連續(xù)呢？結(jié)論是，“相應(yīng)的上限函數(shù)一定連續(xù)。戰(zhàn)地老師，你好，對(duì)這個(gè)問(wèn)題我還無(wú)法理解，我記得原來(lái)我看書時(shí)記得上面說(shuō)：如果 f（x）僅有第一類間斷，那么相應(yīng)的上限函數(shù)一定不連續(xù)，而當(dāng)如果 f（x）存在第二類間斷，那么相應(yīng)的上限函數(shù)要具體的分析才可判斷？ 希望老師能解答

ssqaaaaaaaaa

lhclhx 發(fā)表于 2011-8-24 11:27
如果 f（x）僅有第一類間斷，那么相應(yīng)的上限函數(shù)是否一定連續(xù)呢？結(jié)論是，“相應(yīng)的上限函數(shù)一定連續(xù)。戰(zhàn)地 ...

f(x)一類間斷是原函數(shù)一定不連續(xù)

ssqaaaaaaaaa

06443420 發(fā)表于 2011-8-24 20:39
我明白你的意思，我的意思可以歸結(jié)為這樣一句:f(x)在a處有跳躍間斷點(diǎn)時(shí)(也是第一類啊)，f(x)在a處有定義 ...

。。。
原函數(shù)存在于否一定要相對(duì)區(qū)間而言，脫離區(qū)間談原函數(shù)是無(wú)意義的。這就像無(wú)窮小 無(wú)窮大的描述一樣:1/x是x-->0時(shí)的無(wú)窮大，但是我們不能說(shuō)1/x是無(wú)窮大
一個(gè)道理，假設(shè)f(x)定義域?yàn)镽，那么F(x)是f(x)(-無(wú)窮，a)(a,+無(wú)窮)的原函數(shù)，F(xiàn)(x)不是f(x)(-無(wú)窮，+無(wú)窮)的原函數(shù)
單講F(x)是不是f(x)的原函數(shù)和單問(wèn)1/x是不是無(wú)窮大一樣，這怎么能判斷?