線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（續(xù)）

雷西兒

時(shí)隔一年，總算把特征值特征向量以及二次型部分給大家補(bǔ)上了：）還是那句話，個(gè)人水平有限，加上不同人的不同的思維習(xí)慣，所以只能說我把自己的思路提供出來給大家作為參考，希望能起到點(diǎn)提綱挈領(lǐng)的作用吧。

說實(shí)話，寫最后這部分時(shí)，還是感覺到有些壓力，最主要怕寫出來不如前四章那樣讓大家滿意，呵呵，不過無論如何，我已經(jīng)盡力了，線代的知識(shí)框架總結(jié)也算是形成了一個(gè)完整的篇章，至少有始有終吧。最近一段時(shí)間課題任務(wù)比較重，可能要過個(gè)把月才有空把高數(shù)部分重新修訂了。

最后一個(gè)小說明，因?yàn)檫@個(gè)系列文章的重點(diǎn)是挖掘、梳理各知識(shí)點(diǎn)之間的相互聯(lián)系和脈絡(luò)，所以內(nèi)容上并沒有全盤覆蓋課本，而是有所側(cè)重，打個(gè)比方，相當(dāng)于是勾勒出的一個(gè)線性代數(shù)的基本框架，那么建議大家在此基礎(chǔ)上多開闊思路，通過發(fā)散思維把框架之外的剩余部分囊括到自己的腦海中來：）


線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（五）

由矩陣乘法的特點(diǎn)可知，計(jì)算一個(gè)矩陣A的n次方，相對于數(shù)乘運(yùn)算來說要繁瑣得多。我們注意到，如果存在可逆矩陣P和對角矩陣∧，使得A=P*∧*P逆，那么有：
A^n=（P*∧*P逆）^n=（P*∧*P逆）（P*∧*P逆）…（P*∧*P逆）=P*∧^n*P逆
由于對角矩陣的乘方容易計(jì)算，從而問題得到大幅簡化。

對矩陣A、B來說，如果存在著可逆矩陣P，使得A=P *B*P逆，我們稱A與B是相似的。特別地，如果A與對角矩陣∧相似，則稱A可對角化。由此可見，如果矩陣A可對角化，那么A^n的計(jì)算將變得簡單許多。故可把相似的說法理解為一個(gè)在尋找矩陣乘方簡便運(yùn)算的過程中提出來的概念。

相似的矩陣有許多共同的性質(zhì)，如有相同的秩和相同的行列式值，相似的矩陣或者都可逆，或者都不可逆，等等。

設(shè)矩陣A相似于對角矩陣∧，那么：
A=P*∧*P逆
＜＝＞ AP=P∧，其中P為可逆矩陣
＜＝＞ A*（a1, a2, …, an）=（a1, a2, …, an）*∧，其中a1, a2, …, an分別為可逆矩陣P的列向量，λ1, λ2, …, λn分別為對角矩陣∧的主對角線上元素
＜＝＞ A*a1=λ1*a1，A*a2=λ2*a2，…，A*an=λn*an
也就是說，矩陣A能對角化的關(guān)鍵，在于找到n個(gè)常數(shù)λ1, λ2, …, λn和n個(gè)線性無關(guān)的向量a1, a2, …, an（因?yàn)檫@些向量構(gòu)成的矩陣可逆，這也決定了零向量不是特征向量），使得A*ai=λi*ai（i=1，2，3，…，n）。
我們把滿足條件A*ai=λi*ai的λi稱為矩陣A的特征值，ai稱為矩陣A對應(yīng)特征值λi的特征向量。換句話說，一個(gè)矩陣能夠相似于對角矩陣的充分必要條件是：存在n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

接下來的問題是如何求矩陣的特征值和特征向量？一個(gè)方案是從定義A*ai=λi*ai出發(fā)，直接尋找滿足這樣要求的λi 和ai，但這一般是不容易做到的，故還有必要去建立一種更為普遍的方法。

設(shè)A*ai=λi*ai
＜＝＞（A-λi*E）*ai=0
＜＝＞ 對λi來說，ai是齊次線性方程組（A-λi*E）*X=0的一個(gè)非零解（因?yàn)閍i構(gòu)成的向量組線性無關(guān)）
＜＝＞ 方程組的系數(shù)行列式det（A-λi*E）=0
由此可見，每一個(gè)特征值λi都是多項(xiàng)式det（A-λ*E）在指定數(shù)域（一般是實(shí)數(shù)域）上的根，我們稱這個(gè)多項(xiàng)式為矩陣A的特征多項(xiàng)式，不難驗(yàn)證，它是一個(gè)λ的n次多項(xiàng)式。依據(jù)特征方程det（A-λ*E）=0，即可求出矩陣A的全部特征值。

對矩陣A的每個(gè)特征值λi，求齊次線性方程組（A-λi*E）*X=0的解，得到的全部非零解（一般可用基礎(chǔ)解系表示）就是A的屬于特征值λi的全部特征向量。由此可得到兩點(diǎn)啟示：對同一個(gè)特征值來說，特征向量不唯一；對同一特征值來說，特征向量的線性組合仍為特征向量。

相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式和特征值，但有相同特征多項(xiàng)式的兩個(gè)矩陣不一定相似。相似的矩陣有相同的秩，故一個(gè)可對角化矩陣的非零特征值的數(shù)目即為其秩。

在求出矩陣的全部特征值和全部特征向量以后，剩下的問題就是判斷這些所有的特征向量中有沒有n個(gè)是線性無關(guān)的？如果有，意味著矩陣可對角化，如果沒有，則矩陣不可對角化。

對一個(gè)矩陣A來說，考慮到其n個(gè)特征值可能相同也可能不同，故最一般的情況應(yīng)該是把A的這n個(gè)特征值分為m組，分別為λ1, λ2, …, λm，每組的個(gè)數(shù)分別為j1，j2，…，jm（注意有j1+j2+…+jm=n），對每個(gè)λi（i=1，2，…，m），齊次線性方程組（A-λi*E）*X=0的基礎(chǔ)解系解向量的個(gè)數(shù)分別為r1，r2，…，rm，這些基礎(chǔ)解系各自當(dāng)然都是A的線性無關(guān)的特征向量，自然會(huì)進(jìn)一步聯(lián)想，把這m組共r1+r2+…+rm個(gè)向量合在一起情況如何，是否仍線性無關(guān)？

經(jīng)過考察發(fā)現(xiàn)，矩陣A的屬于不同的特征值的特征向量一定線性無關(guān)。故上述r1+r2+…+rm個(gè)來自不同特征值的特征向量構(gòu)成的向量組確實(shí)是線性無關(guān)的。于是不難有如下結(jié)論，若r1+r2+…+rm=n，則A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而A可對角化，若r1+r2+…+rm<n，則A沒有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而A不可對角化。

若矩陣A具有n個(gè)不同的特征值，則A可對角化。

由此可見，要判斷一個(gè)矩陣是否可對角化，通常需要求出其全部特征值（相當(dāng)于解代數(shù)方程的問題），再求出每個(gè)特征值所對應(yīng)的特征向量（相當(dāng)于解齊次線性方程組的問題）并考察其相互之間的線性無關(guān)性。亦即我們應(yīng)當(dāng)建立起這樣的認(rèn)識(shí)：相似變換，尤其是相似對角變換，并不是對任何一個(gè)矩陣來說都可以進(jìn)行的，這其中關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)可逆矩陣P來為兩者提供聯(lián)系，換言之就是應(yīng)當(dāng)滿足某些對應(yīng)的條件。當(dāng)然，可以想象，也許對于具有某些特點(diǎn)的矩陣來說，它們本身就滿足這種既定條件，從而必可以對角化。

實(shí)對稱矩陣就是這樣一種特殊的矩陣，它一定存在著n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即一定可對角化。實(shí)對稱矩陣屬于不同特征值得特征向量是正交的，而之前已經(jīng)提到過，對同一特征值來說，其特征向量的線性組合仍是其特征向量，故可利用施密特正交化方法（本質(zhì)是線性組合）來構(gòu)造出一組屬于同一特征值的正交特征向量，這些正交化單位化后的特征向量就決定了實(shí)對稱矩陣一定可以正交對角化。要注意到正交矩陣當(dāng)然是可逆的，正交的向量組當(dāng)然是線性無關(guān)的，這是實(shí)對稱矩陣對于一般矩陣來說在相似變換性質(zhì)上更為優(yōu)越的地方。

雷西兒

線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（六）

在實(shí)際生活中，我們常常會(huì)遇到許多與n個(gè)變量x1，x2，…，xn構(gòu)成的二次齊次多項(xiàng)式f（x1，x2，…，xn）相關(guān)的問題（如二次曲面問題、多元函數(shù)的極值問題等），我們將這種多項(xiàng)式稱為一個(gè)n元二次型。

可以看到，與線性方程組類似，對二次型的性質(zhì)起決定作用的是自變量的系數(shù)及其相對位置，這提示我們可以把這些系數(shù)排成的一個(gè)n階矩陣A，用矩陣的工具來研究二次型，具體做法是：
令X=（x1，x2，…，xn）’，則二次型f（x1，x2，…，xn）可以寫成：
f（x1，x2，…，xn）=X’AX
其中A稱為二次型f（x1，x2，…，xn）的矩陣，它的特點(diǎn)是：主對角線上的元素是完全平方項(xiàng)的系數(shù)，（i，j）位置上的元素是交叉項(xiàng)系數(shù)的一半，這決定了二次型矩陣的對稱性和唯一性。

我們知道，矩陣的一個(gè)應(yīng)用是線性變換，即關(guān)系式X=CY表示的是從變量x1，x2，…，xn到變量y1，y2，…，yn的一個(gè)線性變換，一般來說，我們還要求這種變換是可逆的（即C可逆）。從坐標(biāo)變換的角度來看，向量R在X坐標(biāo)系下的分量x1，x2，…，xn與Y坐標(biāo)系下的分量y1，y2，…，yn通過轉(zhuǎn)換矩陣C相聯(lián)系，這表明：同一個(gè)向量實(shí)體在不同坐標(biāo)系下可以有不同的表現(xiàn)形式，但本質(zhì)上并無區(qū)別。

利用線性變換X=C*Y，變量X的一個(gè)二次型f（x1，x2，…，xn）=X’AX可以變成
（CY）’A（CY）=Y’C’ACY= Y’（C’AC）Y
設(shè)C’AC=B，則有 Y’BY= f（y1，y2，…，yn），這是變量Y的一個(gè)二次型，不難驗(yàn)證，B正是二次型f（y1，y2，…，yn）的矩陣。
從坐標(biāo)變換的角度來看，與向量類似，同一個(gè)二次型f在不同的坐標(biāo)系下可以有不同的表現(xiàn)形式，兩者通過關(guān)系式C’AC=B相聯(lián)系，但本質(zhì)上并無區(qū)別。

對矩陣A、B來說，如果存在著可逆矩陣C，使得C’AC=B，我們稱A與B是合同的，不難推斷，合同的矩陣有相同的秩，且對應(yīng)著同一個(gè)二次型。特別地，如果矩陣A與對角矩陣∧合同，那這個(gè)對角矩陣∧對應(yīng)的就是一個(gè)只含完全平方項(xiàng)的二次型，稱為標(biāo)準(zhǔn)型。將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型來進(jìn)行研究，因?yàn)椴缓徊骓?xiàng)，問題變得簡單許多。

注意到二次型的矩陣總是對稱矩陣，故對于實(shí)數(shù)域上的二次型X’AX來說，其矩陣A必可正交對角化，故必定存在一個(gè)正交矩陣Q，使得Q逆*A*Q=∧，同時(shí)考慮到Q’=Q逆，因此Q’AQ=∧，即A合同于對角矩陣。也就是說，對實(shí)數(shù)域上的任意一個(gè)二次型，都能夠通過合適的坐標(biāo)變換化為標(biāo)準(zhǔn)型。從坐標(biāo)變換的角度來看，我們總可以找到一個(gè)合適的坐標(biāo)系，在該坐標(biāo)系中，二次型f以相對較為簡單的，僅含完全平方項(xiàng)的形式表現(xiàn)出來，而這些完全平方項(xiàng)的系數(shù)（也就是矩陣A的特征值），就決定了該二次型具有的全部性質(zhì)。

同一個(gè)實(shí)二次型X’AX，其標(biāo)準(zhǔn)型不唯一，但標(biāo)準(zhǔn)型中完全平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)r是唯一的，同時(shí)r也就是二次型矩陣A的秩。

這里應(yīng)該著重體會(huì)的是，正是利用實(shí)對稱矩陣在相似變換上強(qiáng)有力的性質(zhì)（必可正交對角化），我們才得以將二次型化標(biāo)準(zhǔn)型的問題轉(zhuǎn)化為矩陣求特征值特征向量的問題，而后者是之前就已經(jīng)探討清楚了的。

在得到實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型后，還可對標(biāo)準(zhǔn)型中所有平方項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行歸一化，即得到規(guī)范型，一個(gè)二次型的規(guī)范性是唯一的。規(guī)范型只含平方項(xiàng)，且平方項(xiàng)的系數(shù)只有1，0，-1，實(shí)二次型的規(guī)范性由正慣性指數(shù)的個(gè)數(shù)p和負(fù)慣性指數(shù)的個(gè)數(shù)q決定，其中p+q=r為二次型矩陣的秩。規(guī)范型在形式上更為簡單，一般常通過研究二次型的規(guī)范型來對其作出一些定性的判斷。

正定二次型是無論自變量如何取值都能保證結(jié)果恒正的二次型，即對于任意非零的X，都有X’AX>0。判斷一個(gè)二次型的正定性，一種選擇是直接從定義出發(fā)，另一種方案可考慮利用規(guī)范型（因?yàn)闊o論正定負(fù)定都是一個(gè)定性而非定量的結(jié)論），而實(shí)際上正定二次型的許多性質(zhì)也確實(shí)能通過其規(guī)范型相聯(lián)系，這是值得注意的。

[ 本帖最后由 雷西兒 于 2010-3-9 01:18 編輯 ]

藍(lán)珊瑚1987

第一時(shí)間來支持雷師兄的帖子！

我發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)版真是人才濟(jì)濟(jì)，幫助大家解決了好多問題。感覺在這里比在教室里溫暖多了。

一定認(rèn)真消化師兄的總結(jié)

[ 本帖最后由 藍(lán)珊瑚1987 于 2010-3-9 01:16 編輯 ]

liuyeziyuan141

呵呵 深夜?jié)撍匠鲱^來~~見到了久仰的雷大俠 最近正在看這塊內(nèi)容呢 如獲至寶啊。。感謝感謝~

sail2011

來頂雷大俠，辛苦了啊，呵呵…

e1evenonly

說實(shí)話   向量 每次見到就頭暈

philwuyao

感謝樓主的無私分享，真心說聲謝謝了

chenli117113

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fengshanyulin

謝謝學(xué)長的無私奉獻(xiàn)，感謝感謝！

huncky

謝謝樓主，呵呵……